如何求一个函数的反函数，高中数学

发布网友发布时间：2022-04-22 08:19

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热心网友时间：2022-07-12 07:11

反函数就是从函数y=f(x)中解出x，用y表示：x=φ(y),如果对于y的每一个值，x都有唯一的值和它对应，那么x=φ(y)就是y=f(x)的反函数，习惯上，用x表示自变量，所以x=φ(y)通常写成y=φ(y) (即对换x,y的位置)。

求一个函数的反函数：

1、从原函数式子中解出　x　用　y　表示；

2、对换 x,y ；

3、标明反函数的定义域

注：反函数里的x是原函数里的y，原函数中，y≥0，所以反函数里的x≥0。在原函数和反函数中，由于交换了x、y的位置，所以原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。

扩展资料：

反函数存在定理：

定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。

在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。

设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，当x1<x2时，有y1<y2，则称y=f(x)在D上严格单调递增；当x1<x2时，有y1>y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减。

证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。

而由于f的严格单增性，对D中任一x'<x，都有y'<y；任一x''>x，都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个，根据反函数的定义，f存在反函数f-1。

任取f(D)中的两点y1和y2，设y1<y2。而因为f存在反函数f-1，所以有x1=f-1(y1)，x2=f-1(y2)，且x1、x2∈D。

若此时x1≥x2，根据f的严格单增性，有y1≥y2，这和我们假设的y1<y2矛盾。

因此x1<x2，即当y1<y2时，有f-1(y1)<f-1(y2)。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。

如果f在D上严格单减，证明类似。

热心网友时间：2022-07-12 07:12