求证笛沙格定理
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发布时间：2022-06-04 05:53
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热心网友
时间：2023-10-27 00:28
在证明笛沙格定理前，先说明一下梅涅劳斯定理及其逆定理。
梅涅劳斯定理：如果在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、E、F且D、E、F三点共线，则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1，
梅涅劳斯定理的逆定理：如果在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、E、F，且满足(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1，则D、E、F三点共线。
证明：观察三角形C1B1O，可以看出，K、B2、C2分别在C1B1、B1O、OC1或其延长线上，且B2、K、C2三点共线，根据梅涅劳斯定理可得：
(C1K/KB1)*(B1B2/B20)*(OC2/C2C1)=1；
同理：观察三角形OB1A1，可得到：
(OB2/B2B1)*(B1L/LA1)*(A1A2/A2O)=1；
观察三角形OA1C1，可得到：
(OA2/A2A1)*(A1M/MC1)*(C1C2/C2O)=1。
以上三式相乘得
(B1L/LA1)*(A1M/MC1)*(C1K/KB1)=1
可以看到，在三角形B1A1C1中，L、K、M分别在A1B1、B1C1、C1A1或其延长线上，根据梅涅劳斯定理的逆定理，可判断L、K、M共线。
证毕。
热心网友
时间：2023-10-27 00:28
