07年河北省中考数学试题
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发布时间：2022-10-19 18:17
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时间：2024-12-14 15:03
26．（本小题满分12分）
如图16，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；
（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC
？
（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由．
26．解：（1）t
=（50＋75＋50）÷5=35（秒）时，点P到达终点C．……………（1分）
此时，QC=35×3=105，∴BQ的长为135－105=30．………………（2分）
（2）如图8，若PQ∥DC，又AD∥BC，则四边形PQCD
为平行四边形，从而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t
得50＋75－5t=3t，解得t=
．
经检验，当t=
时，有PQ∥DC．………（4分）
（3）①当点E在CD上运动时，如图9．分别过点A、D
作AF⊥BC于点F，DH⊥BC于点H，则四边形
ADHF为矩形，且△ABF≌△DCH，从而
FH=
AD=75，于是BF=CH=30．∴DH=AF=40．
又QC=3t，从而QE=QC•tanC=3t•
=4t．
（注：用相似三角形求解亦可）
∴S=S⊿QCE
=
QE•QC=6t2；………………………………………………………（6分）
②当点E在DA上运动时，如图8．过点D作DH⊥BC于点H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QC－CH=3t－30．
∴S=
S梯形QCDE
=
(ED＋QC)DH
=120
t－600．…………………………（8分）
（4）△PQE能成为直角三角形．……………………………………………………（9分）
当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠
或t=35．…（12分）
（注：（4）问中没有答出t≠
或t=35者各扣1分，其余写法酌情给分）
下面是第（4）问的解法，仅供教师参考：
①当点P在BA（包括点A）上，即0＜t≤10时，如图9．过点P作PG⊥BC于点G
，则PG=PB•sinB=4t，又有QE=4t
=
PG，易得四边形PGQE为矩形，此时△PQE总能成为直角三角形．
②当点P、E都在AD（不包括点A但包括点D）上，即10＜t≤25时，如图8．
由QK⊥BC和AD∥BC可知，此时，△PQE为直角三角形，但点P、E不能重合，即
5t－50＋3t－30≠75，解得t≠
．
③当点P在DC上（不包括点D但包括点C），
即25＜t≤35时，如图10．由ED＞25×3－30=45，
可知，点P在以QE=40为直径的圆的外部，故
∠EPQ不会是直角．
由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ一定是锐角．
对于∠PQE，∠PQE≤∠CQE，只有当点P与C
重合，即t=35时，如图11，∠PQE=90°，△PQE
为直角三角形．
