怎样证明梯形的蝴蝶定理?

发布网友 发布时间：2022-10-02 15:30

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热心网友 时间：2023-10-08 21:13

因为S1和S2的的三角形是相似的

所以面积比=边长比的平方即a²：b² 

设梯形高为h，

因为S3+S2=1/2 bh=S4+S2

所以S3=S4

设S3和S1三角形(底为OA和OB)的高为h1

可知S3:S1=OB:OA 

因为S1和S2的的三角形是相似

S3:S1=OB:OA=b：a 

所以S1︰S2︰S3︰S4= a^2︰b^2︰ab︰ab

扩展资料：

梯形的蝴蝶定理：

1、相似图形，面积比等于对边比的平方S1：S2=a^2/b^2

2、S1:S2:S3:S4= a2:b2:ab:ab

3、S3=S4

4、S1×S2=S3×S4(由S1/S3=S4/S2推导出)

5、AO:BO=(S1+S3):(S2+S4)

参考资料来源：百度百科-梯形蝴蝶定理

热心网友 时间：2023-10-08 21:14

霍纳证法证明梯形的蝴蝶定理：

过O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T，

连接ON，OM，OS，SL，ST，易证明△ESD∽△CSF

∴DS/FS=DE/FC

根据垂径定理得：DL=DE/2，FT=FC/2

∴DS/FS=DL/FT

又∵∠D=∠F

∴△DSL∽△FST

∴∠SLD=∠STF

即∠SLN=∠STM

∵S是AB的中点所以OS⊥AB

∴∠OSN=∠OLN=90°

∴O，S，N，L四点共圆，（一中同长）

同理，O，T，M，S四点共圆

∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON

∴∠SON=∠SOM

∵OS⊥AB

∴MS=NS

扩展资料：

定理意义：

蝴蝶定理是古典欧式平面几何的最精彩的结果之一。这个定理的证法不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。

平面几何的四个重要定理：

1、梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）

△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点A'、B'、C'，则A'、B'、C'共线的充要条件是

（BA'/A'C）·（CB'/B'A）·（AC'/C'B）= 1

2、塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）

△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点A'、B'、C'，则AA'、BB'、CC'三线平行或交于一点的充要条件是

BA'/A'C·CB'/BA'·AC'/C'B=1

3、托勒密(Ptolemy)定理

四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。

4、西姆松(Simson)定理（西姆松线）

从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

参考资料来源：百度百科——蝴蝶定理

热心网友 时间：2023-10-08 21:14

右上角为C，左下角为D

S1和S2的的三角形是相似的（AAA）~~~所以面积比=边长比的平方即a²：b²

设梯形高为h，S3+S2=1/2 bh=S4+S2。。。。所以S3=S4

设S3+S1的三角形的CD上的高为h1，可知S3:S1=OD:OC

因为S1和S2的的三角形是相似，S3:S1=OD:OC=b：a

所以S1︰S2︰S3︰S4= a^2︰b^2︰ab︰ab 

热心网友 时间：2023-10-08 21:15