天下武功,唯快不破
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发布时间：2022-10-04 01:35
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时间：2023-10-12 16:27
一、整除特性
两个整数A和B，如果A是B的整数倍，就可以说A能被B整除。整除特性就是利用数字之间的整除关系来进行解题的一种方法，其核心在于快速发现题目中的整除关系。
解题思路：抓住题目中的特征信息，从问题入手，找与问题直接相关的整除关系。
题干特征1：题干中出现分数、百分数、比例、倍数、余数等信息。
题干特征2：题干中出现了特殊数字的整除(3或9)或“数字和”。
常用数字整除判定法则：
2(5)整除：观察数字的末一位数字能否被2(5)整除;
4(25)整除：观察数字的末两位数能否被4(25)整除;
8(125)整除：观察数字的末三位数能否被8(125)整除;
3(9)整除：观察各位数字之和能否被3(9)整除。
【例1】一本书，小明已经看了130页，剩下的准备8天看完。如果每天看的页数相等，3天看的页数是全书的，问这本书共有( )页。
A. 324 B. 330
C. 429 D. 457
【答案】B
【解析】3天看的页数是全书的，说明书的总页数一定可以被22整除，四个选项可以被22整除的只有B。正确答案为B选项。
【例2】(山东2015)车间领到一批电影票和球票发放给车间工人，电影票是球票数的2倍。如果每个工人发3张球票，则富余2张，如果每个工人发7张电影票，则缺6张，问车间领到多少张球票?( )
A. 32 B. 30
C. 64 D. 60
【答案】A
【解析】题干中出现了倍数和余数，而余数去掉后其实就是倍数，所以本题考虑使用整除特性，由于问的是球票数，因此找题干中与球票相关的倍数关系，已知球票数除以3余2，因此球票数减去2是3的倍数，代入选项发现只有A项满足条件，因此选择A选项。
二、比例倍数性质
比例倍数性质是对整除特性的扩展应用，可以广泛地运用在各种比例类问题当中，是整除特性中必须熟练掌握的一种方法和技巧，也是数字特性种应用最多的。
性质描述：
a，b，m，n均为正整数，若a∶b=m∶n(m、n互质)或a=b(m、n互质)(注：两个数互质指的是这两个数除了1是公共因子外没有其他公共因子的情况)，
则a能被m整除，a是m的倍数;b能被n整除，b是n的倍数。
a+b能被m+n整除，a-b能被m-n整除(a>b)。
应用特征：当题干中出现比例、倍数、分数、百分数、以及几分之几的情形。
【例3】(广东2016)某单位2014年年终评比中，良好等级的人数占总人数。2015年年终评比又多了60人被评为良好等级，此时该等级的人数占总人数。如果在这两年间该单位的人员没有变化，则该单位共有( )人。
A.120 B.275
C.330 D.800
【答案】B
【解析】由良好等级的人数占总人数以及2015年年终评比又多了60人被评为良好等级，此时该等级的人数占总人数可知总人数必然是11和5的倍数，则可排除A、D，将B项代入满足条件，故正确答案为B。
【例4】(北京2017)某企业共有职工100多人，其中，生产人员与非生产人员的人数之比为4∶5，而研发与非研发人员的人数之比为3∶5.已知生产人员不能同时担任研发人员，则该企业不在生产和研发两类岗位上的职工有多少人?
A.20 B.30
C.24 D.26
【答案】D
【解析】职工共有100多人，生产人员和非生产人员为4:5，生产人员4份，非生产人员5份，总人数9份，即9的倍数;研发人员和非研发人员3:5，研发人员3份，非研发人员5份，总人数8份，即8的倍数，100多人既是8的倍数又是9的倍数，只有8×9×2=144唯一解，生产人员有人144×=64，研究人员人144×=54，不在生产和研发的人员数有144-64-54=26人，因此，本题答案选择D选项。
通过以上内容相信大家对整除和比例倍数特性的应用已经有所了解和掌握，但是真正要做到“唯快不破”还是需要大家多练习，重点了解什么情况下应用整除和比例倍数特性，以及怎么用整除和比例倍数特性解决相关问题。只有经过多练、多做，才能真正的做到在数*算这个模块“所向披靡、天下无敌”!
