数学问题:已知球的半径为R,求球内接正三棱锥的体积的最大值?

发布网友发布时间：2022-09-25 06:00

共2个回答

热心网友时间：2023-09-15 18:55

正三棱锥中心与顶点连线长为R,计算出三棱锥边长为3/2R ,面积就可以求出来

热心网友时间：2023-09-15 18:56

设球的内接正三棱锥为P—ABC，则P、A、B、C都在球面上，由对称性可知棱锥的高PD经过球心O，设正三棱锥的底面边长为a，高PO=h. 则
AD=2/3*√3/2a=√3/3a
延长PD交球于E，则∠PAE=90°，AD⊥PE.由AD2=PD•DE得1/3a2=h(2R－h) ∴a2=3h(2R－h)
V=1/3S⊿ABC*h=1/3*√3/4a^2h=1/3*√3/4*3h^2(2R-h)= √3/4h^2(2R-h)

=√3/8[h*h(4r-h)]≤√3/8*(4R/3)^3=8√3/27R^3
当且仅当h=4R－2h 即h=4/3R时上式等号成立.
故当正三棱锥的高为4/3R时，有最大体积8√3/27R^3

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