函数Y的二阶导数是Y本身,求Y.
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发布时间：2022-10-12 03:00
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时间：2023-10-17 09:40
两边同乘以2y'
d(y')^2/dx=dy^2/dx
d[(y')^2-y^2]/dx=0
(y')^2-y^2=C
y'=±√(C+y^2)
dy/√(C+y^2)=±dx
分三种情形讨论，C＜0，C=0，C＞0
1 C＜0
令C=-a^2,则dy/√(y^2-a^2)=±dx
化简为d(y/a)/√[(y/a)^2-1]=±dx
令y/a=sect,可得
dt/cost=±dx
dln(sect+tant)=±dx
即y/a+√[(y/a)^2-1]=e^[±(x+D)]
y/a-√[(y/a)^2-1]=1/e^[±(x+D)]
相加y=acosh(x+D),其中 a=√(-C),D为积分常数
2 C=0
则y'=±y
即y'/y=±1,dlny=±dx
y=e^[±(x+D)],D为积分常数
3 C＞0
令C=a^2,则dy/√(y^2+a^2)=±dx
化简为d(y/a)/√[(y/a)^2+1]=±dx
令y/a=tant,可得
dt/cost=±dx
dln(sect+tant)=±dx
即√[(y/a)^2+1]+y/a=e^[±(x+D)]
√[(y/a)^2-1]-y/a=1/e^[±(x+D)]
相减得y=±asinh(x+D),
令±a=b，化为y=bsinh(x+D),其中 a=√C,D为积分常数
综上所述，函数y的二阶导数是y本身，y的函数形式是：acosh(x+D),e^[±(x+D)],bsinh(x+D),
分别是双曲余弦，对数函数和双曲正弦形式，依据初值条件可以定出积分常数。
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时间：2023-10-17 09:40
原式化为：(dp/dy)*p=y
即pdp=ydy,得p^2=y^2+c1,
整理得dy/√(y^2+c1)=dx
得ln|y+√(y^2+c1)|=x+c2
即结果。
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时间：2023-10-17 09:40
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时间：2023-10-17 09:41
