特征向量和基础解系有啥区别?
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发布时间：2022-04-23 04:16
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时间：2023-07-16 09:54
特征向量和基础解系两者的区别如下：
一、性质不同
特征向量：对应的特征值是它所乘的那个缩放因子；特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量；线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量；特征值的几何重次是相应特征空间的维数。
基础解系：针对有无数多组解的方程而言，若是齐次线性方程组则应是有效方程的个数少于未知数的个数，若非齐次则应是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且都小于未知数的个数。
二、特点不同
特征向量是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值。一个共轭特征向量或者说共特征向量是一个在变换下成为其共轭乘以一个标量的向量，其中那个标量称为该线性变换的共轭特征值或者说共特征值。
基础解系：齐次线性方程组的解集的极大线性无关组称为该齐次线性方程组的基础解系。基础解系是线性无关的，简单的理解就是能够用它的线性组合表示出该方程组的任意一组解，是针对有无数多组解的方程而言的。
扩展资料：
特征向量的主要性质：
1、线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。
2、特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。
3、特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。
4、线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。
5、特征值的几何重次是相应特征空间的维数，有限维向量空间上的一个线性变换的谱是其所有特征值的集合。
例如：三维空间中的旋转变换的特征向量是沿着旋转轴的一个向量，相应的特征值是1，相应的特征空间包含所有和该轴平行的向量。该特征空间是一个一维空间，因而特征值1的几何重次是1。特征值1是旋转变换的谱中唯一的实特征值。
参考资料来源：百度百科-特征向量
参考资料来源：百度百科-基础解系
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时间：2023-07-16 09:54
一、概念不同
1、特征向量：数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值。
2、基础解系：基础解系是针对有无数多组解的方程而言，若是齐次线性方程组则应是有效方程的个数少于未知数的个数，若非齐次则应是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且都小于未知数的个数。
二、解方程不同
1、特征向量：线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量 。
线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。
2、基础解系：基础解系是线性无关的，能够用它的线性组合表示出该方程组的任意一组解，是针对有无数多组解的方程而言的。基础解系不是唯一的，因个人计算时对自由未知量的取法而异，但不同的基础解系之间必定对应着某种线性关系。
三、解法不同
1、特征向量：描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式，λ是A的特征值等价于线性方程组(A – λI) v = 0 （其中I是单位矩阵）有非零解v (一个特征向量)，因此等价于行列式|A – λI|=0 。
函数p(λ) = det(A – λI)是λ的多项式，因为行列式定义为一些乘积的和，这就是A的特征多项式。矩阵的特征值也就是其特征多项式的零点。
2、基础解系：对于一个方程组，有无穷多组的解来说，最基础的，不用乘系数的那组方程的解，如（1，2，3）和（2，4，6）及（3，6，9）以及（4，8，12）......等均符合方程的解，则系数K为1，2，3，4.....等，因此（1，2，3）就为方程组的基础解系。
参考资料来源：百度百科-特征向量
参考资料来源：百度百科-基础解系
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时间：2023-07-16 09:55
1、特征向量和基础解系的定义不同
特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。
基础解系：齐次线性方程组的解集的极大线性无关组称为该齐次线性方程组的基础解系。基础解系是线性无关的，简单的理解就是能够用它的线性组合表示出该方程组的任意一组解，是针对有无数多组解的方程而言的。
2、特征向量和基础解系的特点不同
特征向量：是不能为0的向量，所以写全部特征向量时，小括号里面的*是系数不同时为0。
基础解系：而对于一个方程来说，通过基础解系写出通解，并且0向量也是该线性方程组的解，因此没有 不同时为0的*，即系数可以为0。
3、特征向量和基础解系的性质不同
特征向量：对应的特征值是它所乘的那个缩放因子；特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量；线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量；特征值的几何重次是相应特征空间的维数。
基础解系：针对有无数多组解的方程而言，若是齐次线性方程组则应是有效方程的个数少于未知数的个数，若非齐次则应是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且都小于未知数的个数。
扩展资料：
计算矩阵的特征值和特征向量
假设我们想要计算给定矩阵的特征值。若矩阵很小，我们可以用特征多项式进行符号演算。但是，对于大型矩阵这通常是不可行的，在这种情况我们必须采用数值方法。
求特征值
描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式，λ是A的特征值等价于线性方程组(A – λI) v = 0 （其中I是单位矩阵）有非零解v (一个特征向量)，因此等价于行列式|A – λI|=0。
函数p(λ) = det(A – λI)是λ的多项式，因为行列式定义为一些乘积的和，这就是A的特征多项式。矩阵的特征值也就是其特征多项式的零点。
一个矩阵A的特征值可以通过求解方程pA(λ) = 0来得到。 若A是一个n×n矩阵，则pA为n次多项式，因而A最多有n个特征值。
反过来，代数基本定理说这个方程刚好有n个根，如果重根也计算在内的话。所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此对于奇数n，每个实矩阵至少有一个实特征值。在实矩阵的情形，对于偶数或奇数的n，非实数特征值成共轭对出现。
参考资料来源：百度百科-特征向量
参考资料来源：百度百科-基础解系
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时间：2023-07-16 09:55
1、定义
特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。
基础解系：齐次线性方程组的解集的极大线性无关组称为该齐次线性方程组的基础解系。基础解系是线性无关的，简单的理解就是能够用它的线性组合表示出该方程组的任意一组解，是针对有无数多组解的方程而言的。
2、特点
特征向量：是不能为0的向量，所以写全部特征向量时，小括号里面的*是系数不同时为0。
基础解系：而对于一个方程来说，通过基础解系写出通解，并且0向量也是该线性方程组的解，因此没有 不同时为0的*，即系数可以为0。
3、性质
特征向量：对应的特征值是它所乘的那个缩放因子；特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量；线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量；特征值的几何重次是相应特征空间的维数。
基础解系：针对有无数多组解的方程而言，若是齐次线性方程组则应是有效方程的个数少于未知数的个数，若非齐次则应是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且都小于未知数的个数。
参考资料来源：百度百科-基础解系
参考资料来源：百度百科-特征向量
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时间：2023-07-16 09:56
