数学不等式证明题

发布网友 发布时间：2022-10-14 07:32

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热心网友 时间：2023-11-29 07:03

1.解：由
柯西不等式
：
(y+z+z+x+x+y)(x^2/(y+z)+y^2/(z+x)+z^2/(x+y))>=(x+y+z)^2
上式整理得：x^2/(y+z)+y^2/(z+x)+z^2/(x+y)>=(x+y+z)/2
再由
均值不等式
x+y+z>=3*三次根号(xyz)=3
所以x^2/(y+z)+y^2/(z+x)+z^2/(x+y)>=(x+y+z)/2>=3/2
所以x^2/(y+z)+y^2/(z+x)+z^2/(x+y)最小值为3/2，当x=y=z=1的时候取到。
2.证明：
先考虑证明：
x/(x+1)-1/4<=(9/16)(x-1/3)............(1)
证：
x/(x+1)-1/4<=(9/16)(x-1/3)
<=>x/(x+1)<=9x/16-3/16+1/4
<=>x/(x+1)<=9x/16+1/16
<=>16x<=(x+1)(9x+1)
<=>9x^2-6x+1>=0
即(3x-1)^2>=0
显然上式恒成立.
于是同理还有y/(y+1)-1/4<=(9/16)(y-1/3)............(2)
z/(z+1)-1/4<=(9/16)(z-1/3)............(3)
(1)+(2)+(3)得x/(x+1)+y/(y+1)+z/(z+1)-3/4<=(x+y+z-1)=0
所以
x/(x+1)+y/(y+1)+z/(z+1)<=3/4成立。
证毕。。
好吧，如果没看懂的话我就说说这么做的原理吧，这种
不等式证明
的方法叫做“以直代曲”我们考虑曲线y=x/(x+1)=[(x+1)-1]/(x+1)=1-1/(x+1)，这个
函数图像
我们是可以画出来的，它是将曲线y=-1/x先向左平移一个单位，再向上向平移一个单位得到的，我们可以发现，由于这个不等式对x,y,z有*，要求满足x+y+z=1，而且这个不等式非常对称，所以我们不妨猜想当x=y=z=1/3的时候等号成立。事实的确如此。但是门现在要证明它，以直代曲就是一种思路。我们可以发现，这条曲线始终在它上面的点(1/3,1/4)的切线下方，而这点切线的斜率我们可以用导数求出：y'=1/(1+x)^2,当x=1/3时,y'=9/16，所以它在点(1/3,1/4)处的
切线方程
为y=(9/16)(x-1/3)+1/4，而这条切线始终在曲线y=x/(x+1)的上方，所以我们就有不等式:x/(x+1)<=(9/16)(x-1/3)+1/4
但是这样还不够，因为我们是从图像中看出来的有可能我们图画的不标准，所以我们还要证明它，证明过程我在上面写得很详细了。
后面两个式子同理可证。这样三式相加即得我们需要的结论了。
以直代曲是解决局部结构完全相同不等式的一个非常有效的方法。

热心网友 时间：2023-11-29 07:04

1.解：由柯西不等式：
(y+z+z+x+x+y)(x^2/(y+z)+y^2/(z+x)+z^2/(x+y))>=(x+y+z)^2
上式整理得：x^2/(y+z)+y^2/(z+x)+z^2/(x+y)>=(x+y+z)/2
再由均值不等式x+y+z>=3*三次根号(xyz)=3
所以x^2/(y+z)+y^2/(z+x)+z^2/(x+y)>=(x+y+z)/2>=3/2
所以x^2/(y+z)+y^2/(z+x)+z^2/(x+y)最小值为3/2，当x=y=z=1的时候取到。

2.证明：
先考虑证明：
x/(x+1)-1/4<=(9/16)(x-1/3)............(1)
证：
x/(x+1)-1/4<=(9/16)(x-1/3)
<=>x/(x+1)<=9x/16-3/16+1/4
<=>x/(x+1)<=9x/16+1/16
<=>16x<=(x+1)(9x+1)
<=>9x^2-6x+1>=0
即(3x-1)^2>=0
显然上式恒成立.
于是同理还有y/(y+1)-1/4<=(9/16)(y-1/3)............(2)
z/(z+1)-1/4<=(9/16)(z-1/3)............(3)
(1)+(2)+(3)得x/(x+1)+y/(y+1)+z/(z+1)-3/4<=(x+y+z-1)=0
所以
x/(x+1)+y/(y+1)+z/(z+1)<=3/4成立。
证毕。。

好吧，如果没看懂的话我就说说这么做的原理吧，这种不等式证明的方法叫做“以直代曲”我们考虑曲线y=x/(x+1)=[(x+1)-1]/(x+1)=1-1/(x+1)，这个函数图像我们是可以画出来的，它是将曲线y=-1/x先向左平移一个单位，再向上向平移一个单位得到的，我们可以发现，由于这个不等式对x,y,z有*，要求满足x+y+z=1，而且这个不等式非常对称，所以我们不妨猜想当x=y=z=1/3的时候等号成立。事实的确如此。但是门现在要证明它，以直代曲就是一种思路。我们可以发现，这条曲线始终在它上面的点(1/3,1/4)的切线下方，而这点切线的斜率我们可以用导数求出：y'=1/(1+x)^2,当x=1/3时,y'=9/16，所以它在点(1/3,1/4)处的切线方程为y=(9/16)(x-1/3)+1/4，而这条切线始终在曲线y=x/(x+1)的上方，所以我们就有不等式:x/(x+1)<=(9/16)(x-1/3)+1/4
但是这样还不够，因为我们是从图像中看出来的有可能我们图画的不标准，所以我们还要证明它，证明过程我在上面写得很详细了。
后面两个式子同理可证。这样三式相加即得我们需要的结论了。

以直代曲是解决局部结构完全相同不等式的一个非常有效的方法。

热心网友 时间：2023-11-29 07:04

a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2
=a^2(b-c)+a(c^2-b^2)+bc(b-c)
=a^2(b-c)-(ab+ac)(b-c)+bc(b-c)
=(b-c)(a^2-ac-ab+bc)
=(b-c)[a(a-c)-b(a-c)]
=(b-c)(a-b)(a-c)
因为c>b>a，
所以b-c＜0,
a-b＜0,
a-c＜0,
所以(b-c)(a-b)(a-c)＜0,
即a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2＜0,
即证a^2b+b^2c+c^2a＜ab^2+bc^2+ca^2
证不等式问题通常就是比差法，先相减再合并同类项

热心网友 时间：2023-11-29 07:05

设a>b>1,由排序不等式（补充一下排序不等式，若a>b>c,那么，a*a+b*b+c*c>a*b+b*c+c*a>a*c+b*b+c*a,就是正序和大于乱序和大于逆序和），所以，a*a+b*b+1*1>a*1+b*1+a*b即a^2+b^2+1≥a+b+ab

热心网友 时间：2023-11-29 07:05

第一题。
因为X,Y,Z都是正整数，且X*Y*Z为1，所以X=Y=Z=1
得为1/2+1/2+1/2=1.5