解析几何的常用方法:平方差法(点差法)
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发布时间：2022-10-14 05:31
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时间：2023-11-24 16:37
平方差法又称为点差法，该方法的核心是平方差公式：
在涉及圆锥曲线与弦的关系时，该公式往往具有很好的效果。而且，对于各类圆锥曲线，包括圆、椭圆、抛物线和双曲线，该方法都适用。
点差法以及由点差法推导得出的一些常用结论，属于高考数学中的高频考点，务必要重视。
以 表示椭圆上两个不同的点
两式相减可得：
当然，也可以写成：
其中， 代表弦 的中点。
【解读公式】
以上公式可以用文字解读如下：
这是一个重要的常用结论，也是高频考点。
【真题实例】
2015年的全国卷二中，直接把以上常用结论的推导过程作为考题。详见：
2015年文数全国卷B题20
还有更多考题，则是在解答过程中需要应用上述结论：
2010年文数全国卷题20
2010年理数全国卷题20
2013年文数全国卷B题20
2020年理数全国卷A题20
抛物线的方程：
因为 两点在抛物线上，所以，
，
记 中点为 ，则
或：
【解读公式】
以上公式可以用文字表述如下：
对于以 轴为对称轴的抛物线，以下结论成立：
（1）抛物线的弦的斜率与弦的中点的 坐标的乘积等于焦距 .
（2）同一组平行的弦（斜率相等），中点位于同一条垂直于 轴的直线上。
（3）根据抛物线的弦的斜率，可以算出弦的 坐标；反之亦然。
【真题实例】
2018年数学全国卷B题20
2017年理数全国卷C题20
1987年全国卷题21
抛物线的方程：
因为 两点在抛物线上，所以，
，
记 中点为 , 则
或：
【解读公式】
以上公式可以用文字表述如下：
【解读公式】
以上公式可以用文字表述如下：
对于以 轴为对称轴的抛物线，以下结论成立：
（1）抛物线的弦的斜率与弦的中点的 坐标的乘积等于焦距 .
（2）同一组平行的弦（斜率相等），中点位于同一条垂直于 轴的直线上。
（3）根据抛物线的弦的斜率，可以算出弦的 坐标；反之亦然。
【真题实例】
2017年文数全国卷A题20
若圆 的方程为：
两点在圆上，并记 中点为 , 则
也就是说： . 实际上是用解析的方法得出了垂径定理。
如图所示，抛物线方程为： , 为抛物线的弦. 保持弦 的斜率不变，并向左移动，则其中点 的 坐标不变，同时 三点不断地靠近，最终变为一点. 这时，直线与抛物线只有一个公共点，直线也由抛物线的弦变为切线。
换言之，如果作一条与切线平行的弦，则弦的中点的 坐标与切点的 坐标相等。
若切点坐标为 , 则
切线的方程为：
同样的道理，如果抛物线的方程为： , 则
切线的方程为：
平方差法可以发挥什么样的作用？
平方差法（点差法）的作用，概括地说，就是将弦的斜率与弦的中点坐标关联起来，可以解决的问题有好多：
（1）弦长问题
（2）求弦的中点的轨迹方程
（3）求弦的斜率范围
（4）求切线的方程
（5）定点问题
从前面的真题实例可以看出，这一方法在高考中用到的机会是很多的。
