在等腰直角三角形ABC中,P为边AB上的一点,PD垂直AC于D,PE垂直于BC于E,AE交PD于M,BD交PE于N,求证PM=PN

发布网友发布时间：2022-10-14 02:32

共3个回答

热心网友时间：2023-11-22 08:27

等腰直角三角形ABC中,C是直角,AC=BC.
由图知:
三角形AMP与三角形AEB相似.
得 PM/BE=AP/AB``````1
三角形BNP与三角形BDA相似.
得 PN/AD=BP/AB``````2
1'2两式都有AB,一合并得 PN/PM=(PB*AD)/(AP*BE)
因为PE垂直于BC,所以三角形PEB是直角等腰.PB/BE=根号2
同理 AD/AP=1/(根号2)
所以PN/PM=1
及PN=PM

热心网友时间：2023-11-22 08:27

PD垂直AC,PE垂直于BC，等腰直角三角形ABC
所以CDPE是矩形。
PD//且=CE， PE//且=CD
PN：CD=PN：PE=PD：（PD+BE）=CE：（CE+BE）=CE：BC
同样，PM：CE=PM：PD=CD：AC

因为是等腰直角三角形ABC，
AC=BC
PN=CD*CE/BC=CD*CE/AC=PM，得证。

热心网友时间：2023-11-22 08:28

证明方法：

因为ABC为等腰直角三角形，

因此可以，以AB为对角线，做正方形ACBC'，

相应地，PD'垂直AC'于D',PE'垂直于BC'于E',AE'交PD'于M',BD'交PE'于N'

连接MM'N'N,形成一个四边形，

由于P是正方形ACBC'上的点，

所以，PM=PM',角MPM'=90度，PN=PN',角=90度，MM'平行于NN'，

三角形PAE'面积=1/2PE'*AD,三角形PDB面积=1/2PD*DC,
因为PE'=PE=DC,PD=PD"=AD,因此

三角形PAE'面积=三角形PDB面积

即，1/2(PN*EB+PN*EC)=1/2(PM'*EB+PM'*DC)
所以，PN=PM'，而PM'=PM

PM=PN得等。

由此，也可知四边形MM'N'N为正方形！