几何分布、二项分布和泊松分布
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发布时间：2022-09-30 02:55
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时间：2024-10-26 21:25
1）进行一系列相互独立的试验。
2）每一次试验都既有成功的可能，也有失败的可能，且单次试验的成功概率相同。
3）为了取得第一次成功需要进行的试验次数。
满足以上3个条件，即为几何分布。
2.几何分布概率公式：
其中p为成功概率，q=1-p为失败概率。公式表达的意思是：为了在第r次试验时取得成功，首先要失败r-1次。
3.几何分布适用于不等式：
P(X>r）指的是为了取得第一次成功需要试验r次以上的概率。即前r次试验必须以失败告终。
P(X<=r）指的是为了取得一次成功而需要试验r次或r次的以下概率。
如果一个变量X的概率符合几何分布，且单次试验的成功概率为p，则可以写作：
4.几何分布的期望：
5.几何分布的方差：
6.举例：
一位滑雪者不出意外顺利滑至坡底的概率是0.4,算出以下概率
1）第一次滑雪失败，第二次成功的概率
P(X=2)=p*q=0.4*(1-0.4)=0.24
2）第4次或不足4次就滑雪成功的概率
P(X<=4)=1-q的4次方=1-0.6的4次方=0.8704
3）需要滑雪4次以上才能成功的概率
P(X>4)=q的4次方=0.6的4次方=0.1296
4）期望获得成功而需要滑行的次数
E(X)=1/p=1/0.4=2.5
5）试滑次数的方差
Var(X)=q/p的平方=0.6/（0.4*0.4）=3.75
1.二项分布适用条件：
1）进行一系列独立试验。
2）每一次试验都存在成功和失败的可能，且每次成功的概率相同。
3）试验次数有限。
2.二项分布概率公式：
其中：组合公式
3.二项分布可以写成：
其中p是每一次试验成功的概率，n为试验次数。
4.二项分布的期望：
5.二项分布的方差：
6.二项分布与几何分布的区别：
两者的差别在于实际上要求的结果。如果试验次数固定，求成功一定次数的概率，则使用二项分布；如果你想要知道在取得第一次成功之前需要试验多少次，则需要使用几何分布。
7.举例：
某游戏*有5个问题，每一题有4个选项，每题答对的概率是0.25。
1）答对2题的概率是多少
P(X=2)=5!/(3!*2!)*(0.25*0.25)*(0.75*0.75*0.75)=0.264
2）答对3题的概率是多少
P(X=3)=5!/(2!*3!)*(0.25*0.25*0.25)*(0.75*0.75)=0.0879
3）答对2题或3题的概率
P(X=2或X=3)=P(X=2)+P(X=3)=0.264+0.0879=0.3519
4）一题也答不对的概率是多少
P(X=0)=0.75*0.75*0.75*0.75*0.75=0.237
5）期望和方差是多少
E(X)=np=5*0.25=1.25
Var(X)=npq=5*0.25*0.75=0.9375
1.泊松分布适用条件：
1）单独事件在给定区间内随机、独立的发生，给定区间可以是时间也可以是空间。
2）已知该区间内的事件平均发生次数，且为有限数值。该事件平均发生次数通常用 表示。
2.泊松分布可以写成：
X表示给定区间内的事件发生次数，如果X符合泊松分布，且每个给定区间内平均发生 次，可写成：
4.泊松分布的期望：
5.泊松分布的方差：
6.泊松分布与其他概率分布的区别：
泊松分布不需要做一系列试验，但它描述了事件在特定区间内的发生次数。
7.泊松分布代替二项分布：
当n很大（>50），p很小（<0.1)，这时可以使用泊松分布代替二项分布，因为大的阶乘不方便计算，而泊松分布与二项分布近似相等。其中 =np。
