射线方程与视速度定理
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发布时间：2022-04-23 03:24
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时间：2023-10-23 21:33
由场论知识可知，场可以用等值面表示，也可以用力线表示，时间场也不例外。在时间场中，等值面就是等时面，力线就是射线。因为力线方向就是场的梯度方向，因而射线方向也就是时间场的梯度方向。由全部射线组成的射线族与时间场中的等时面族互相垂直（见图1-3-2）。由于时间场内各时刻波前面的位置与等时面重合，因而在时间场*线亦垂直于波前面。从能量的角度来看，波动传播时其大部分能量都集中在射线方向上。由前述惠更斯-菲涅尔原理的表达式（1-2-21）中的倾斜因子（1-2-22）式可知，当波前面法线n与r之间夹角θ为零度时，表示波前面法线与射线方向一致，此时倾斜因子有最大值
地震波场与地震勘探
说明波沿射线传播的方向能量最强。
图1-3-2 等时面族与射线族关系图
图1-3-3 时间梯度和视速度示意图
由上述讨论还可以知道，波沿射线传播时是以真速度传播的。也就是说，如果站在射线的方向来观测波的传播，则观测到的速度v应该是波在介质中传播的真速度。在地震勘探中往往是在地面观测波的传播，于是在除了射线方向以外的任意方向上来观测波动传播时，它是以什么速度传播呢？由图1-3-3可以看出，若不是从波传播方向SP来观测而是从和SP成一夹角e的方向SP′来观测，此时虽然波前面Q1以速度v向Q2传播，但从观测者的角度来说，波好像以“速度”v*由S点传至P′点，这个“速度”显然不是真速度，称之为视速度。由于从由S点传至P点或P′点的时间相同，例如为Δt，因此有：
地震波场与地震勘探
由于
ΔS＝ΔS*cos e
所以
地震波场与地震勘探
此关系式表示了真速度和视速度之间的关系，它就是视速度定理。
视速度定理说明，当角度e＝0时，v*＝v，此时视速度等于真速度。当e≠0 时，由于cos e总是小于1的，由（1-3-8）式可以看出，视速度总大于真速度。当角度e趋于90°极限情况时，视速度趋于极限无穷大，说明如果沿波前面观测波的传播，此时波前面上各点的扰动都同时到达，因此好像有一波动以无穷大的视速度传播一样。
在ΔS′趋于零的极限情况下，可以用微分形式表示某一点的视速度
地震波场与地震勘探
所以
地震波场与地震勘探
设波前面法线方向的三个方向余弦为cosα、cosβ和cosγ，沿三个坐标轴的视速度分别为vx、vy和vz，它们用时间场的空间导数表示为
地震波场与地震勘探
由视速度定理有
地震波场与地震勘探
故有
地震波场与地震勘探
式中，p称为折射率，是速度的倒数。因
地震波场与地震勘探
故由（1-3-10）式可得：
地震波场与地震勘探
对此方程的三个等式分别沿射线路径求导，如对第一式求导有：
地震波场与地震勘探
因此，（1-3-11）式变为
地震波场与地震勘探
此即用折射率表示的射线方程。如果已知介质中速度的空间分布和初始条件（在初始时刻射线的出发点），解此方程可以得到任何时刻射线终点所在的空间位置。
