求偶函数的性质,和奇函数的性质
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发布时间：2022-10-08 04:35
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时间：2023-11-03 17:21
例1：把1，2，3…1992中的各个数都用加号或者减号连起来，它们的运算结果是奇数还是偶数？
分析：根据加减运算中的奇偶性规律分析，运算结果的奇偶性与所填运算符号无关，只与参与运算的数中奇数的个数有关，即在算式里如果有偶数个奇数，那么运算结果一定是偶数；如果有奇数个奇数，运算结果一定是奇数。只要数一数奇数的个数，就可以确定其结果是奇数还是偶数了。
解：1～1992*有996个奇数，所以，不管数之间填加号还是减号，它都是一个共有偶数个奇数参与运算的加减算式，所以结果一定是偶数。
方法点睛：直接利用奇偶性的性质，不必算出结果来判断。
1．偶数±偶数＝偶数；奇数±奇数＝偶数；偶数±奇数＝奇数；2．偶数个奇数相加得偶数；奇数个奇数相加得奇数。
例2：用l、2、3、4、5这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积。问乘积中是偶数多还是奇数多？
分析：如果两个整数的积是奇数，那么这两个整数都必须是奇数。在这五个数中，只有三个奇数，两两相乘可以得到3个不同的奇数积，7个不同的偶数积。
解：在10个不同的乘积中，偶数的多。
方法点睛：偶数×奇数＝偶数；奇数×奇数＝奇数；偶数×偶数＝偶数。
奇数和偶数的其他性质：在整除的情况下，偶数÷奇数＝偶数；偶数÷偶数＝偶数或奇数。
例3：一个数与两个相邻的奇数分别相乘，所得的两个积相差190，求这个数是多少？
分析1：因为相邻的两个奇数相差2，一个数与两个相邻的奇数分别相乘，所得的两个积之差是190，也就是说这个数的2倍是190，这个数就是95。
解：190÷2＝95，所以这个数是95。
分析2：设这个数为x，则相邻的两个奇数分别为（2n＋1），（2n＋3）（n为整数）。
解：（2n＋3）x－（2n＋1）x＝190，解之得x＝95。
方法点睛：相邻两个奇数相差2，相邻两个偶数相差也是2。
例4：用0～9这10个数组成5个两位数，每个数只用一次，要求它们的和是奇数，那么这5个两位数的和最大是多少？
分析1：要使组成的5个两位数的和最大，应该把10个数中最大的5个分别放在十位上，即十位上是5，6，7，8，9，而个位上放0，1，2，3，4。根据奇数的定义，这样组成的5个两位数中，只有个位是1和3的2个奇数。
解：要满足这5个两位数的和是奇数，根据奇偶性相加减的运算规律，这5个数中应有奇数个奇数，所以上述的情况不合要求，必须调整。调整的方法是让十位上的数要尽可能大，且个位数字必须有奇数个奇数。由此知应交换5和4的位置。满足题目要求的5个两位数的十位上的数是4，6，7，8，9；个位上的数是0，1，2，3，5，这5个数的和是（4＋6＋7＋8＋9）×10＋（0＋1＋2＋3＋5）＝351。
方法点睛：做这道题时，要先考虑“和最大”，暂时不考虑这5个数的和是奇数的要求。
通过前面的学习，利用奇偶性的一些性质，我们学会了在数字中解决奇偶性的一些问题。其实在实际生活中奇偶性问题也会经常出现，下面我们通过几道例题来进一步学习奇偶性的一些问题。
奇偶性的应用
例1：有5个杯子，杯口全都朝上。规定每次翻转4个杯子，经过若干次后，能否使杯口全部朝下？（美国小学数学奥林匹克通讯赛试题。）
分析：要使5个杯子杯口全部朝下，每个杯子必须翻转奇数次，5个奇数的和是奇数，所以翻动的总次数为奇数时才能使5个杯子的杯口全部都向下。现在每次只翻转4个杯子，无论翻多少回，总次数一定是偶数。因此，按规定不可能经过若干次“翻转”后使得杯口全部向下。
方法点睛：巧用奇偶数的性质来分析这一事件的可能性。如果亲自动手翻转5个杯子，是无法得出结论的。
例2：某班同学参加学校的数学竞赛，共50道试题。评分标准是：答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分。请你说明：该班同学得分总和一定是偶数。（全国第三届《从小爱数学》邀请赛试题。）
分析：如果50道题都答对，共可得150分，是一个偶数。每答错一道题，就要相差4分，不管答错多少道题，4的倍数总是偶数，150减偶数，差仍然是一个偶数。
同理，每不答一道题，就相差2分，不管有多少道题不答，2的倍数总是偶数，偶数与偶数之和为偶数。
所以，全班每个同学的分数都是偶数，则全班同学的得分之和也一定是个偶数。
方法点睛：答对与不答的得分相差2，答错与答对的得分相差4，都是2的倍数，即偶数。
例3：甲盒中放有180个白色围棋子和181个黑色围棋子，乙盒中放有181个白色围棋子，李平每次任意从甲盒中摸出两个棋子，如果两个棋子同色，他就从乙盒中拿出一个白子放入甲盒；如果两个棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。那么他拿多少次后，甲盒中只剩下一个棋子，这个棋子是什么颜色的？
分析：不论李平从甲盒中拿出两个什么样的棋子，他总会把一个棋子放入甲盒。所以他每拿一次，甲盒子中的棋子数就减少一个，所以他拿180＋181－1＝360次后，甲盒里只剩下一个棋子。
如果他拿出的是两个黑子，那么甲盒中的黑子数就减少两个。否则甲盒子中的黑子数不变。也就是说，李平每次从甲盒子拿出的黑子数都是偶数。由于181是奇数，奇数减偶数等于奇数。所以，甲盒中剩下的黑子数应是奇数，而不大于1的奇数只有1，所以甲盒里剩下的一个棋子应该是黑子。
方法点睛：巧用奇偶数的性质来分析这一事件。
由上可知，在现实生活中好多问题我们都会利用奇数与偶数的性质来解答。下面就来做一些练习吧，来检验一下你对这些知识的掌握程度。
一、填空题
1．五个连续奇数的和是85，其中最大的奇数是（ ）,最小的奇数是（ ）。
2．有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最大数与最小数的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是（ ）。
3．有五个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数和的多18，这五个偶数之和是（ ）。
二、选择题
1．设a、b都是整数，下列命题正确的个数是（ ）。
（1）若a＋5b是偶数，则a－b是偶数。
（2）若a＋5b是偶数，则a－3b是奇数。
（3）若a＋5b是奇数，则a－3b是奇数。
（4）若a＋5b是奇数，则a－3b是偶数。
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若5×3×a×9×b是奇数，则整数a，b的奇偶性适合（ ）。
A．a奇b偶 B．a奇b奇 C．a偶b偶 D．a偶b奇
3．若a＋b＋c＝奇数，a×b×c＝偶数，则a，b，c的奇偶性适合（ ）。
A．三个都是奇数 B．两个奇数一个偶数 C．一个奇数两个偶数 D．三个都是偶数
三、解答题
1. 30个连续自然数的乘积是奇数还是偶数？
2. 博物馆有并列的5间展室亮着灯，保安人员在里面巡逻。他每经过一间，就要拉一下这间展室的电灯开关。他从第一间展室开始，走到第二间，再走到第三间…，走到第五间后往回走，走到第四间，再走到第三间……如果开始时五间展室都亮着灯，那么他走过100个房间后，还有几间亮着灯？
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时间：2023-11-03 17:22
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时间：2023-11-03 17:22
奇函数f(-x)=-f(x),f(0)=0
