如何理解 “等价范数定义了相同的拓扑?”

发布网友 发布时间：2022-10-08 08:06

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热心网友 时间：2023-11-07 18:53

如果要把定义拆开看的话，就是说，现在在同一个空间X上有两种范数， 定义了两种拓扑（每一种拓扑就告诉我们在这种拓扑下X的哪些子集是开集），假如这两个范数可以互相控制，那么这两种拓扑是一样的，就是说：“如果一个集合在第一个拓扑下是开集，那它在第二个拓扑下也是，反过来也是”。

要是直观地想的话，应该记得欧几里德拓扑（或者一般的度量拓扑），大概就是告诉人们那些点之间比较“近”。假如两个范数等价，那就是他们可以互相控制。也就是说，一列点如果在第一个范数下面不断靠近一个定点（距离趋近于0），那么它们在第二个范数下也不断靠近那个定点，反之也是。那么这两个范数所定义的“近”的概念就应该一样。换成拓扑的话说，包含那个定点的随便一个集合U，假如U在第一个拓扑下是开集，那么任何一列点如果在第一个范数下趋近于那个定点那这列点最终就要落到U里面，而这等于是在说，任何一列点如果在第二个范数下不断趋近于那个定点那这列点最终就要落在U里面，这就说明U在第二个拓扑下也是开集。

热心网友 时间：2023-11-07 18:54

大概是这样的：回忆一下拓扑的定义，它是有一系列开集满足一些公理定义的。两个拓扑是等价的是说他们的开集可以互相包含。对于带范数的空间，所有的开集可以由范数定义的小开球并出来。也就是拓扑是由范数确定的。当两个范数等价时（说的是小球的半径在延伸或者压缩下是一样的），那么他们的定义的开集可以互相包含是显然的了。希望对你有所帮助。rainbowguy(站内联系TA)明白了。大虾说的 “两个拓扑是等价的是说他们的开集可以互相包含”，可不可以这样理解为 ：“A包含B，B包含A，则A=B；就是说两个拓扑等价是说他们的开集相同。”？sskkyy(站内联系TA)对于你的这种情况应该是的，有度量定义的拓扑是很好的拓扑了。rainbowguy(站内联系TA)sskkyy大虾，你说的“ 当两个范数等价时（说的是小球的半径在延伸或者压缩下是一样的）”, 小球的半径应该就是范数值了，那当小球延伸或压缩怎么是一样的呢？这句话，麻烦大虾详细解释一下。sskkyy(站内联系TA)不要意思，我这里说的不够精确。你回忆一下两个范数等价的定义，就是任意一个元素的一种范数的夹在另外一个范数的数乘中间。这种数乘其实就是压缩或者是拉伸，很直观的。