双曲线:C(x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2)=1与抛物线y=1/4x^2交于两点

发布网友发布时间：2022-10-18 18:03

共2个回答

热心网友时间：2023-11-22 20:05

这道题如果仅仅考虑“抛物线与双曲线交于两点”是不够的，此仅能确认双曲线上的一个点(±√2,1/2)，还无法求出离心率（试想，经过一个固定点的双曲线有多少条？）；
一般情况下，抛物线与双曲线可能有四个交点，“交于两点”可理解为“仅有两个交点”；
若如此，将 x²=4y 代入双曲线方程得：4y/a² -y²/b²=1；化为常规形式 a²y²-4b²y+a²b²=0；
由于两曲线仅有两个交点，所以 y 只有唯一解：△=(-4b²)²-4a²*a²b²=0，即 a²=2b；
再根据焦点(0,1)、顶点(0,0)、交点构成菱形的条件可得 y=1/2（可参考一楼网友的回答），代入 y 方程并以 2b 替换 a²：(2b)*(1/2)²-4b²*(1/2)+(2b)*b²=0，化简后为 (2b-1)²=0，∴ b=1/2；
从而有 a=√(2b)=1，c=(a²+b²)=√[1²+(1/2)²]=√5/2；
离心率 e=c/a=√5/2；

热心网友时间：2023-11-22 20:05

抛物线的焦点F与顶点O及两交点构成一个菱形，则有F坐标是(0,1)
那么OF中点的坐标是(0,1/2),即二个交点的纵坐标是1/2,代入到y=x^2/4中有x^2=2,即交点坐标是(根号2,1/2)和(-根号2,1/2)
代入到双曲线方程中有2/a^2-1/(4b^2)=1
8b^2-a^2=4a^2b^2
8(c^2-a^2)-a^2=4a^2(c^2-a^2)
8c^2-9a^2=4a^2c^2-4a^4

则双曲线C的离心率为