线性规划的解法
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发布时间：2022-04-23 09:20
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时间：2023-10-09 08:47
求解线性规划问题的基本方法是单纯形法，已有单纯形法的标准软件，可在电子计算机上求解约束条件和决策变量数达 10000个以上的线性规划问题。为了提高解题速度，又有改进单纯形法、对偶单纯形法、原始对偶方法、分解算法和各种多项式时间算法。对于只有两个变量的简单的线性规划问题，也可采用图解法求解。这种方法仅适用于只有两个变量的线性规划问题。它的特点是直观而易于理解，但实用价值不大。通过图解法求解可以理解线性规划的一些基本概念。
对于一般线性规划问题：Min z=CX
S.T.
AX =b
X>=0
其中A为一个m*n矩阵。
若A行满秩
则可以找到基矩阵B，并寻找初始基解。
用N表示对应于B的非基矩阵。则规划问题1可化为：
规划问题2：
Min z=CB XB+CNXN
S.T.B XB+N XN = b (1)
XB >= 0, XN >= 0 (2)
(1)两边同乘于B-1，得
XB + B-1 N XN = B-1 b
同时，由上式得XB = B-1 b - B-1 N XN，也代入目标函数，问题可以继续化为：
规划问题3：
Min z=CB B-1 b + ( CN - CB B-1 N ) XN
S.T.
XB+B-1N XN = B-1 b (1)
XB >= 0, XN >= 0 (2)
令N:=B-1N，b:= B-1 b，ζ= CB B-1b，σ= CN - CB B-1 N，则上述问题化为规划问题形式4：
Min z= ζ + σ XN
S.T.
XB+ N XN = b (1)
XB >= 0, XN >= 0 (2)
在上述变换中，若能找到规划问题形式4，使得b>=0，称该形式为初始基解形式。
上述的变换相当于对整个扩展矩阵（包含C及A） 乘以增广矩阵 。所以重在选择B，从而找出对应的CB。
若存在初始基解
若σ>= 0
则z >=ζ。同时，令XN = 0，XB = b，这是一个可行解，且此时z=ζ，即达到最优值。所以，此时可以得到最优解。
若σ >= 0不成立
可以采用单纯形表变换。
σ中存在分量<0。这些负分量对应的决策变量编号中，最小的为j。N中与j对应的列向量为Pj。
若Pj <=0不成立
则Pj至少存在一个分量ai，j为正。在规划问题4的约束条件（1）的两边乘以矩阵T。
T=
则变换后，决策变量xj成为基变量，替换掉原来的那个基变量。为使得T b >= 0，且T Pj=ei（其中，ei表示第i个单位向量），需要：
l ai，j>0。
l βq+βi*(-aq,j/ai,j)>=0，其中q!=i。即βq>=βi/ ai,j * aq,j。
n 若aq,j<=0，上式一定成立。
n 若aq,j>0，则需要βq / aq,j >=βi/ ai,j。因此，要选择i使得βi/ ai,j最小。
如果这种方法确定了多个下标，选择下标最小的一个。
转换后得到规划问题4的形式，继续对σ进行判断。由于基解是有限个，因此，一定可以在有限步跳出该循环。
若对于每一个i，ai,j<=0
最优值无解。
若不能寻找到初始基解
无解。
若A不是行满秩
化简直到A行满秩，转到若A行满秩。
