高一数学向量问题:解法加答案
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发布时间：2022-11-28 01:00
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时间：2023-10-19 21:09
解：假设d=零向量，则a=-kb，则a，b共线，与已知矛盾.
所以向量d非零，由向量共线的必要性条件，得：存在实数m，使c=md
即ka+b=m(a+kb)=ma+mkb,
即(k-m)向量a+(1-mk)向量b=0向量
由平面向量基本定理知当且仅当k-m=1-mk=0时上式成立
解得：k^2=1
即k=+1或-1
2，本题考查向量数量积定义及向量模的求法.
c与b的数量积为c*d=(2a-b)*(3b-a)
=6a*b-2a^2-3b^2+a*b
=7*1*1*cos120度-2*1^2-3*1^2
=(-7/2)-5
=-17/2
因为c^2=(2a-b)^2=4a^2-4a*b+b^2=5-4*(-1/2)=7
所以c的模=根号7
同理，b的模=根号13
所以cos<c,d>=c*d/c的模*d的模
=(-17/2）/根号91
=-17根号91/182
3,
本题考查向量的坐标运算.
证明(1)：令a=(a1,a2),b=(b1,b2),则ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2)
由已知得，左边=(ma2+nb2,2[ma2+nb2]-[ma1+nb1])
右边=m(a2,2a2-a1)+n(b2,2b2-b1)
=(ma2+na2,2[ma2+nb2]-[ma1+nb1])
所以左边=右边
即原式成立
证明(2): 由已知，f(a)=(1,2-1)=(1,1)
f(b)=(0,0-1)=(0,-1)
设向量c的坐标为c(x,y),则
f(c)=(y,2y-x)=(p,q)
即y=p
2y-x=q
解得：x=2p-q
y=p
所以向量c的坐标为(2p-q,p)
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时间：2023-10-19 21:09
c‖d,非零向量a,b不共线，∴成比例
∴k：1=1：k ∴k=正负1
2.
cosα=（c·d）/（|c||d|） a·b=-0.5
c·d=（2a-b）·（3b-a）=-8.5
|c|=根号下7 |d|=根号下13
∴cosα=-17/2倍根号下91
3.
①设a=（x1,y1) b=(x2,y2）
ma+nb=(mx1+nx2,my1+ny2) ∵向量u=(x,y)与v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)表示 ∴ f(ma+nb)=（my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2)
mf(a)=mf(x1,y1)=m(y1,2y1-x1)
nf(b)=nf(x2,y2)=n(y2,2y2-x2)
∴对于任意向量a,b及常数m,n恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立。
②a=(1,1)=u,则v=b=（1，2×1-1）=（1，1）
b=(1,0)=u,则b=v=(0,2×0-1）=（0，-1）
f(c)=(p,q),即 y=p,2y-x=q 解方程组得x=2p-q y=p
∴c=(2p-q,p)
好累啊！
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时间：2023-10-19 21:10
即(ka+b)x(a+kb)=0，所以kaza+k^2 *axb+bxa+bxb=0
因为axa=bxb=0，所以有(k^2 -1)*axb=0
因为非零向量a,b不共线，所以axb不为零，所以有k^2 -1，也就是k=1或-1。
2．和上题类似，c x d=(2a-b)x(3b-a)=5 axb
因为a,b是单位向量，所以c x d=5*1*1*sin120度=5/2*根号下3
c 点乘 d = 6 a.b+a.b-2a.a-3b.b=-17/2
因为c x d的值等于|c||d|sin(c与d的夹角),c 点乘 d的值等于|c||d|cos(c与d的夹角),所以tan(夹角)=-5根号下3/17，所以夹角的余弦值等于-17/根号下364
3．(1)直接计算就行，设a(p,q)，b(r,t)
则f(ma+nb)=f(mp+nr,mq+nt)=(mq+nt,2mq+2nt-mp-nr)
而mf(a)=m(q,2q-p)=(mq,2mq-mp),nf(b)=n(t,2t-r)=(nt,2nt-nr)
对比得f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)
因为m,n,a,b为任取，所以题设成立。
(2)f(a)=f((1,1))=(1,2*1-1)=(1,1)
f(b)=f((1,0))=(0,2*0-1)=(0,-1)
还剩下“求使f(c)=(p,q),(p,q为常数)的向量c的坐标”
这一问实际上是已知v，反解u。
设u的第一个分量为ux，第二个分量是uy。v的第一个分量为vx，第二个分量是vy。
则有： vx=uy
vy=2uy-ux
反解得 uy=vx
ux=2vx-vy
所以说，取c=(2p-q,p)，就能让f(c)=(p,q)
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时间：2023-10-19 21:10
c‖d,有（kx1+x2)*(y1+ky2)=(ky1+y2)*(x1+kx2) 整理，得k^2=1,且c,d平行，因此不重合，故k=1.
2.c的数量积的平方为(2a-b)^2，经计算为7，因此c的数量积为根号7。
同理，d的数量积为根号13,又有 c点乘d =(2a-b)(3b-a)=-17/2,所以其余弦值为-17/（2倍根号91）。
3.（1）设a=（x1,y1) b=(x2,y2）
ma+nb=(mx1+nx2,my1+ny2) 由题向量u=(x,y)与v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)表示 故f(ma+nb)=（my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2)
mf(a)=mf(x1,y1)=m(y1,2y1-x1) nf(b)=nf(x2,y2)=n(y2,2y2-x2) ，
有对于任意向量a,b及常数m,n恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立。
（2）a=(1,1)=u,则v=b=（1，2×1-1）=（1，1）
b=(1,0)=u,则b=v=(0,2×0-1）=（0，-1）
f(c)=(p,q),即 y=p,2y-x=q 解方程组得x=2p-q y=p 故c=(2p-q,p)
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时间：2023-10-19 21:11
所以c=tb（t∈Z）则
K=T
1=Kt
联立解得K=1或-1
2.c与b的数量积为c*d=(2a-b)*(3b-a)
=6a*b-2a^2-3b^2+a*b
=7*1*1*cos120度-2*1^2-3*1^2
=(-7/2)-5
=-17/2
因为c^2=(2a-b)^2=4a^2-4a*b+b^2=5-4*(-1/2)=7
所以c的模=根号7
同理，b的模=根号13
所以cos<c,d>=c*d/c的模*d的模
=(-17/2）/根号91
=-17根号91/182
3.
证明(1)：令a=(a1,a2),b=(b1,b2),则ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2)
由已知得，左边=(ma2+nb2,2[ma2+nb2]-[ma1+nb1])
右边=m(a2,2a2-a1)+n(b2,2b2-b1)
=(ma2+na2,2[ma2+nb2]-[ma1+nb1])
所以左边=右边
即原式成立
证明(2): 由已知，f(a)=(1,2-1)=(1,1)
f(b)=(0,0-1)=(0,-1)
设向量c的坐标为c(x,y),则
f(c)=(y,2y-x)=(p,q)
即y=p
2y-x=q
解得：x=2p-q
y=p
所以向量c的坐标为(2p-q,p)
