d/dx∫x(1-et)dt等于什么
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发布时间：2022-12-10 03:02
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热心网友
时间：2024-12-03 00:43
定义：设函数f（x）在区间[a，b]可积，则对于每一个取定的x∈[a，b]，对应唯一一个积分值，即Φ（x）=∫xaf（t）dt，x∈[a，b]称为函数f（x）的积分上限函数。积分上限函数有明显的几何意义：设x∈[a，b]有f（x）0，则积分上限函数Φx=∫xaftdt是区间a，x上的区边梯形的面积。
二、积分上限函数在求导数中的应用
定理1如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则积分上限的函数 φ（x）=∫xaf（t）dt在[a，b]上具有导数，且它的导数是φ′（x）=ddx∫xaf（t）dt=f（x）（a≤x≤b）.
证给自变量x以增量Δx，且使x+Δx在连续区间内，则
φ（x+Δx）=∫x+Δxaf（t）dt，函数φ（x）在x处的增量为Δφ（x），则
Δφ（x）=φ（x+Δx）-φ（x）
=∫x+Δxaf（t）dt-∫xaf（t）dt
=∫x+Δxxf（t）dt.
应用积分中值定理，Δφ（x）=f（ξ）·Δx（ξ在x与x+Δx之间），所以Δφ（x）Δx=f（ξ）（Δx≠0）.
令Δx→0，由于f（x）是连续函数，因此，当Δx→0时，ξ→x，则limΔx→0Δφ（x）Δx=limξ→xf（ξ）=f（x）.
即φ′（x）=ddx∫xaf（t）dt=f（x）.
定理2 ddx∫g（x）af（t）dt=f[g（x）]·g′（x），其中g（x）是可导函数.
例1求ddx∫πxsint2dt.
解∫πxsint2dt=-∫xπsint2dt，
ddx∫πxsint2dt=-ddx∫xπsint2dt=-sinx2.
例2求ddx∫x20sintdt（x>0）.
解首先要搞清楚函数关系，定积分∫x20sintdt是上限x2的函数，而上限x2又是x的函数，因此，对x求导要按复合函数的求导法则进行。
ddx∫x20sintdt=（∫x20sintdt）′x2·（x2）′x=sinx2·2x=2xsinx.
三、 积分上限函数在极限中的应用
例3求limx→1∫x1（t2-1）dtln2x.
解limx→1∫x1（t2-1）dtln2x=00limx→1x2-12lnx·1x=limx→1x（x2-1）2lnx
=limx→1x3-x2lnx=00limx→13x2-12x=1.
例3求ddx∫x20sintdt（x>0）.
解首先要搞清楚函数关系，定积分∫x20sintdt是上限x2的函数，而上限x2又是x的函数，因此，对x求导要按复合函数的求导法则进行。
ddx∫x20sintdt=（∫x20sintdt）′x2·（x2）′x=sinx2·2x=2xsinx.
四、积分上限函数在单调性的应用
例4.设f（x）∈（0，+ 并且x∈[0，+
SymboleB@ ）时，f（x）0，
证明：函数F（x）=∫x0tf（t）dt∫x0f（t）dt在（0，+
内有定义（∵f（x）>0，x>0∫x0tf（t）dt>0）
由定理1.4得，当x>0时
ddx∫x0tf（t）dt=xf（x）；ddx∫x0f（t）dt=f（x）.
故F′（x）=xf（x）∫x0f（t）dt-f（x）∫x0tf（t）dt（∫x0f（t）dt）2=f（x）∫x0（x-t）f（t）dt（∫x0f（t）dt）2
∵f（x）>0，t∈（0，x），（x-t）>0
∴ f（x）∫x0（x-t）f（t）dt>0，即F′（x）>0
从而F（x）在（0，+内为增函数。
热心网友
时间：2024-12-03 00:43
解：
=d∫xf'(t)dt/dx-d∫tf'(t)dt/dx。
=d（x∫f'(t)dt）/dx-xf'(x)。
=∫f'(t)dt+xf'(x)-xf'(x)。
=∫f'(t)dt。
应用这个公式可得：
原式=(sinx)'·cos(π·sin2x) -(cosx)'·cos(π·cos2x) =cosx·cos(π·sin2x) +sinx·cos(π·cos2x) =cosx·cos(π·sin2x) +sinx·cos(π-π·sin2x) =cosx·cos(π·sin2x) -sinx·cos(π·sin2x) =(cosx-sinx)·cos(π·sin2x)。
简单应用：
比如说求一个函数的最值，我们可以先求出这个函数的所有极值点，然后一一验证，忘记说了，极值的定义是两边都比他小或者都比他大，最值是整个函数的最大值或者最小值怎么求除一个函数的所有极值点呢？
我们知道，一个函数的极值点xx，在他的导数f′(x)=0f′(x)=0这个用心感受一下就好了QAQ同时，如果f′(x)<0f′(x)<0，那么就是在这个范围是递减的反之，大于00就是递增的通过这个，一个函数的单调性和最值问题就迎刃而解了
