高手解释下π是无理数的证明思路?

发布网友发布时间：2022-12-05 13:30

共3个回答

热心网友时间：2024-11-24 20:00

假设∏是有理数，则∏=a/b，（a,b为自然数）
令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)
若0<x<a/b,则
0<f(x)<(∏^n)(a^n)/(n!)
0<sinx<1
以上两式相乘得：
0<f(x)sinx<(∏^n)(a^n)/(n!)
当n充分大时，,在[0，∏]区间上的积分有
0<∫f(x)sinxdx <[∏^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………（1）
又令：F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶数阶导数)
由于n!f(x)是x的整系数多项式，且各项的次数都不小于n，故f(x)及其各阶导数在x=0点处的值也都是整数，因此，F(x)和F(∏)也都是整数。
又因为
d[F'(x)sinx-F(x)conx]/dx
=F"(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx
=F"(x)sinx+F(x)sinx
=f(x)sinx
所以有：
∫f(x)sinxdx=[F'(x)sinx-F(x)cosx]，（此处上限为∏，下限为0）
=F(∏)+F(0)
上式表示∫f(x)sinxdx在[0，∏]区间上的积分为整数，这与（1）式矛盾。所以∏不是有理数，又它是实数，故∏是无理数。

参考资料：http://simu.blogcn.com/diary,114615423.shtml#comment

热心网友时间：2024-11-24 20:00

http://wenku.baidu.com/view/d7068a38376baf1ffc4fadcf.html

你想知道就自己看吧，我不会……太费脑细胞

这个方法叫反证法，一些从正面不好说明的问题，我们可以证它的反面是错的，那么其正面就是对的了！

热心网友时间：2024-11-24 20:01

反证法就可以了http://wenku.baidu.com/view/d7068a38376baf1ffc4fadcf.html