为什么长方形的宽和长越长越小?
发布网友
发布时间：2022-11-18 06:15
共2个回答
热心网友
时间：2024-11-26 08:55
事实上，透过表相去看本质，如果我们想象一个几何图形是一个底边在平面上平移扫过的地方，那么这个问题的答案还是很好回答的：在长方形，正方形，平行四边形，三角形，梯形中，只要是底边“均匀”地扫过的图形（此处“均匀”的意思即：水平方向的底边扫过的时候，长底处处相等），面积公式都只要底边长×底边扫过的距离（如长方形的长×宽，平行四边形的底×高），所以面积公式为
S平行四边形=底×高，S长方形=长×宽；
但如果底边是“不均匀”地扫过的图形，面积公式要在底边长×底边扫过的距离时要除以2（由于：如下图，水平方向的底边扫的时候，底边越来越小，三角形最后变为一个点，相当于底边扫的时候，平均长度只有一半。梯形下底变为上底，相当于底边扫的时候，平均长度只有上底和下底的平均数），所以面积公式为
S三角形=底×高÷2，S梯形=（上底+下底）×高÷2；
我们在下图中也可以发现，如果没有除以2，三角形和梯形面积都会变成它本身两倍面积的平行四边形，所以当计算三角形和梯形面积时，要用这个放大成2倍的平行四边形去除以2，得到三角形和梯形面积公式。
到初中，学习特殊平行四边形的菱形时，老师会告诉学生，菱形有两套面积公式：①平行四边形公式的底×高，②对角线相乘÷2。本质上公式②也是上面说的道理：即此时去扫的底变成了其中一条对角线分别向上和向下，累计扫过了另一条对角线的距离，所以也可以用累积三角形公式：S菱形=对角线×对角线÷2，用下面右图可以更直观地说明：其实就是两条对角线为长和宽的矩形面积的一半。
所以，其实对角线×对角线÷2的公式并非菱形特有的，只要是对角线互相垂直的四边形，都可以用这个面积公式，如下图①筝形(两组邻边分别相等) ②正方形 ③对角线垂直的不规则四边形 ④对角线垂直的梯形。原理同上
另外，对于体积，小学高年级就会学到：长方体的体积=长×宽×高，圆柱体积=πr^2h，但是笔者在教学过程中发现，很少有学生能体会到这两者其实是同一个公式：即底面积×高。对比上文的“均匀”扫过的原理，长方体（包括正方体）和圆柱的体积其实就是底面积在扫过的空间大小，而且是“均匀”地扫过的（此处“均匀”的意思即：底面积扫过的时候，面各处处相等）。像这种几何体，体积公式都只要V=底面积×高（高即底边扫过的距离）
所以，圆柱和棱柱都可以用：V=底面积×高 去计算体积（如下图）
而圆锥呢，因为其底面在从下往上（或倒置着从上往下）扫过的时候，面积慢慢缩小成为一个点，并非是“均匀”地扫过的，而老师一般会给学生做这下实验，等底等高的圆锥和圆柱，圆锥装3次的水刚好可以装满圆柱，所以其体积公式为V=底面积×高÷3
所以，圆锥和棱锥都可以用：V=底面积×高÷3 去计算体积（如下图）
而到高中，还有一个公式也可以用上面的分析去理解和记忆：即球体的表面积公式和体积公式，球体的表面积S球=4πR^2。这个公式怎么来的，网上有完整的推导过程，需要学过定积分才可以理解，个人觉得高中生也没必要理解，这个公式记住和正解使用才更重要。学生可以试着这个去记忆，过球心的截面圆形面积（即最大的截面圆形）面积为πR^2，而球表面积可以假想成这个蓝色的面向上鼓起为2倍面积，向下鼓起为2倍面积，结论是4倍面积即4πR^2就可以了。
下面是笔者要说的重点：高中的球体积公式V球=4πR^3÷3怎么去理解记忆？
如图，我们把球面分割成n个网格，连接球心O和每个小网格的顶点。这样就把表面积分割成了一个个的小曲面，与球心O构成了一个小的“小锥体”。
设第1个小锥体体积为V1，第2个小锥体体积为V2……，第n个小锥体体积为Vn，当分割足够多时，这个小曲面会逐渐接*面（设Vn的小曲面面积为Sn），小锥体的高会逐渐接近球的半径R，所以小锥体体积为Vn= Sn×R÷3，则球的体积为：V球= V1+V2+……Vn=(S1+S2+……Sn)×R÷3=S球表面积×R÷3=4πR^2×R÷3=4πR^3÷3，即球的体积为V球=4πR^3÷3
总之，学好数学，很重要的一个素养和方法是要学会自己总结，把生硬的公式、定理用自己能理解的方式去掌握，即便不能理解，也可以用自己能记住的方式去归纳记忆。本号后续会多发些解答学生困惑的数学知识和交待数学知识背景的科普文章，欢迎关注转发。
附图：高中几何体的侧面积公式和体积公式
热心网友
时间：2024-11-26 08:56
