判断级数是否绝对收敛或条件收敛,请写详解。

发布网友发布时间：2022-04-23 07:47

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热心网友时间：2022-06-17 21:56

解：设t=1/(x+1)、y=∑[(-1)^n/n][1/(1+x)^n]，∴y=∑[(-1)^n/n]t^n。两边对t求导，∴y'=∑[(-1)^n]t^(n-1)。
而，当丨t丨<1时，∑[(-1)^n]t^(n-1)=-1/(1+t)，∴y=-∫(0,t)dt/(1+t)=-ln(1+t)=-ln[1+1/(1+x)]。即，丨1/(x+1)丨<1，x>0或者x<-2时，级数收敛、且绝对收敛。又，丨t丨>1时，∑[(-1)^n]t^(n-1)发散。
当x=0时，级数∑[(-1)^n/n]是交错级数，满足莱布尼兹判别法的条件，收敛，但∑丨[(-1)^n/n]丨=∑1/n是p=1的p-级数，发散。∴x=0时，级数∑[(-1)^n/n][1/(1+x)^n]条件收敛。
当x=-2时，∑1/n是p=1的p-级数，发散。∴x=-2时，级数∑[(-1)^n/n][1/(1+x)^n]发散。
综上所述，x>0或者x<-2时，级数∑[(-1)^n/n][1/(1+x)^n]收敛、且绝对收敛；x=0时，级数∑[(-1)^n/n][1/(1+x)^n]条件收敛；-2≤x<0时，级数∑[(-1)^n/n][1/(1+x)^n]发散。供参考。