3道数学分析证明题!(实分析,数列,极限)

发布网友发布时间：2022-11-02 16:18

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热心网友时间：2023-11-15 03:18

1、不妨设C>0，因为limS[n]/n=C，所以存在N，当n>=N'时|S[n]/n-C|<C/2，即S[n]>Cn/2
任意给定正数M，只要取N=max{N',2M/C}，当n>=N时，S[n]>Cn/2>=M，所以S[n]发散到无穷
2、任意给定正数a，存在正数b，当|x-x'|<b时，|f(x)-f(x')|<a
所以对任意a，当|x-x'|=|(x+1/n)-(x'+1/n)|<b时，|f(x+1/n)-f(x'+1/n)|<a，即fn(x)一致连续
因为f(x)连续，对任意a，取一个N>1/b，当n>=N时，|(x+1/n)-x|<b，所以|fn(x)-f(x)|=|f(x+1/n)-f(x)|<a，所以limfn(x)=f(x)
3、假设存在。
g(x)=0有2个解，设为a,b(a<b)，则在[a,b]上，g(x)有最大值g(x1)=M最小值g(x2)=m。
如果0既是最大值又是最小值，则矛盾。
如果0既不是最大值又不是最小值，则x1,x2∈(a,b)，在x1,x2之间还有一个x3使得g(x3)=0，矛盾。
所以0抑或是最大值，抑或是最小值，不妨设是最小值。因为g(x)=M恰有2个解x1,x4，所以[a,b]中要么有1个解，要么有2个解。
如果有1个解，则x4在[a,b]之外，不妨设x4>b，任取M'∈(0,M)，则g(x)=M'在(a,x1),(x1,b),(b,x4)都有解，矛盾。
如果有2个解，不妨设x1<x4，则g(x)在[x1,x4]上有最小值m'∈(0,M)，所以g(x)=m'在(a,x1),(x1,x4),(x4,b)上都有解，矛盾。
所以不存在。