怎样证明圆周角定理
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发布时间：2022-11-03 04:17
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时间：2023-10-27 23:47
圆周角度数定理是圆一章的一个重要的定理，它是解决和圆有关的角的问题的重要依据，这个定理的证明北京版数学教材中给出了一种证明方法，这种证明方法主要用的是外角方面的知识，老师们在教学中多是仿照书上的方法进行证明，而很少去探讨和思考别的证明方法，下面给出用三角形内角和证明这个定理的方法，供大家参考．
求证：同一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半．
已知：⊙o中，∠aob和∠acb分别是
所对的圆心角和圆周角．
求证：∠aob=2∠acb
证明：当圆心o在∠acb的一条边上时，如图(1)，证明方法同课本，这里不在赘述．
当圆心o在∠acb的外部时，如图(2)．联结oc．
∵oc=ob，oc＝oa
∴∠oca=∠oac，∠ocb=∠obc
∵∠oca+∠oac+∠aoc=180°，∠ocb+∠obc+∠boc=180°
∴∠aoc=180°-∠oca-∠oac，∠boc=180°-∠ocb-∠obc
∴∠aoc=180°-2∠oca，∠boc=180°-2∠ocb
∴∠aoc-∠boc
=180°-2∠oca-180°+2∠ocb
∴∠aoc-∠boc
=2(∠ocb
-∠oca)
∵∠aoc-∠boc=∠aob，∠ocb
-∠oca=∠acb
∴∠aob=2∠acb；
当圆心o在∠acb的内部时，如图(3)．联结oc．
∵oc=ob，oc＝oa
∴∠oca=∠oac，∠ocb=∠obc
∵∠oca+∠oac+∠aoc=180°，∠ocb+∠obc+∠boc=180°
∴∠aoc=180°-∠oca-∠oac，∠boc=180°-∠ocb-∠obc
∴∠aoc=180°-2∠oca，∠boc=180°-2∠ocb
∵∠aoc+∠boc+∠aob
=360°
∴∠aob=360°-∠aoc-∠boc
∴∠aob=360°-180°+2∠oca-180°+2∠ocb
∴∠aob=2(∠oca+∠ocb)
∵∠oca+∠ocb
=∠acb
∴∠aob=2∠acb
；
综上所述，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
