二次函数解析式
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发布时间：2022-04-23 07:06
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时间：2022-05-02 10:18
二次函数是初中数学主要内容之一，也是联系高中数学的重要纽带。它是初中《代数》中“函数及其图象”中的难点，求二次函数的解析式又是重点。求二次函数的解析式，应恰当地选用二次函数解析式的形式，选择得当，解题简捷，若选择不当，解题繁琐。解题时，应根据题目的特点灵活选用二次函数解析式的形式，运用待定系数法求解。下面举例说明。
思路1、已知图象过三点，求二次函数的解析式，一般用它的一般形式： 较方便。
例1、已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式。
解：设此二次函数的解析式为 ，由题意得：
解之得
∴所求的二次函数的解析式为
思路2、已知顶点坐标，对称轴、最大值或最小值，求二次函数解析式，一般用它的顶点式 较方便。
例2、已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求解析式。
解：设抛物线 ，由题意得：
∵抛物线过点（1，10）
即解析式为
思路3、已知图象与 轴两交点坐标，可用 的形式，其中 、 为抛物线与 轴的交点的横坐标，也是一元二次方程 的两个根。
例3、已知二次函数的图象与 轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式。
解：设所求解析式为
∵图象经过（3，－4）
∴ ∴
即：
则所求解析式为 。
思路4、已知图象与 轴两交点间距离 ，求解析式，可用 的形式来求，其中 为两交点之间的距离， 为其中一个与 轴相交的交点的横坐标。
例4、二次函数的图象与 轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式。
解：设二次函数解析式为 由已知
∴
又由已知得：
解之得： 或
∴所求二次函数解析式为：
思路5、由已知图象的平移求解析式，一般是把已知图象的解析式写成 的形式，若图象向左（右）移动 个单位，括号里 的值就加（减） 个单位；若图象向上（下）平移 个单位， 的值就加（减） 个单位，即左加右减，上加下减，平移后的抛物线形状不变，大小不变。
例5、把二次函数 的图象向右平移 个单位，再向上平移 个单位，求所得二次函数的解析式。
解：
向右平移2个单位得：
即：
再向上平移3个单位得：
即：
∴所求二次函数解析式为 。
思路6、已知一个二次函数 ，要求其图象关于 轴对称（也可以说沿 轴翻折）； 轴对称及经过其顶点且平行于 轴的直线对称，（也可以说抛物线图象绕顶点旋转180°）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成 的形式。
（1）关于 轴对称的两个图象的顶点关于 轴对称，两个图象的开口方向相反，即 互为相反数。
（2）关于 轴对称的两个图象的顶点关于 轴对称，两个图象的形状大小不变，即 相同。
（3）关于经过其顶点且平行于 轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方向相反，即 互为相反数。
例6；已知二次函数 ，求满足下列条件的二次函数的解析式： （1）图象关于 轴对称；（2）图象关于 轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于 轴的直线对称。
解： 可转化为 ，据对称式可知①图象关于 轴对称的图象的解析式为 ，即： 。
②图象关于 轴对称的图象的解析式为：
，即： ；
③图象关于经过其顶点且平行于 轴的直线对称的图象的解析式为 ，即 。
思路7、数形结合式的二次函数的解析式的求法，此种情况是融代数与几何为一体，把代数问题转化为几何问题来解决，只要充分运用有关几何知识即可达目的。
例7、设二次函数 图象与 轴交于两点 、 ，与 轴交于点 ，若 ，求此二次函数的解析式。
解：在 中，
∵
∴
又∵
∴RtΔOBC∽RtΔABC，RtΔOAC∽RtΔABC，
RtΔOAC∽RtΔOBC
∴
∴
设所求的抛物线解析式为 ，即
即 ，得：
所以所求抛物线为：
思路8、对于综合式的二次函数解析式的求法，以二次函数为背景来设计的综合题大多作为中考的压轴题，是用来拉开分数档次的试题，它一般以二次函数为中心，与代数、几何、三角等知识进行有机地融合。此种题型集初中代数、几何、三角等知识于一身，沟通了许多知识点之间的纵横联系，解题时，要根据几何图形的有关性质，建立等量关系，求出函数关系式或由函数图象中的几何图象，运用数形综合方法解决有关函数几何问题。只要将各知识点的问题予以解决即可求解。
例8、如图，EB是半圆O的直径，EB=6，在BE的延长线上取点P，使EP=EB，A是EP上一个动点（A点与E点不重合），过A作⊙O的切线AD，切点为D，过D作DF⊥AB，垂足为F，过B作AD的垂线BH交AD的延长线于点H，连结ED和FH，设 ,求 与 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围。
解：连结BD
∵EB是半圆O的直径
∴∠EDB=90°
∴
∵BH⊥DA
∴∠BHD=90°
∵AH为⊙O的切线
∴∠BDH=∠DEB
∴RtΔBDH∽RtΔBED
∴
∴
∴
由条件 ，与A与P重合时，有
∴
又∵ΔPDE∽ΔPBD
∴
∴
则自变量 的取值范围为 。
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时间：2022-05-02 11:36
二次函数一般形式：y=ax2+bx+c（已知任意三点）
顶点式：y=a(x+d)2+h(已知顶点和任意除顶点以外的点）有的版本教材也注原理相同
例：已知某二次函数图像顶点（-2，1）且经过（1,0)，求二次函数解析式
解：设y=a(x+2)2+1注意：y=a(x-d)2+h中d是顶点横坐标，h是顶点纵坐标
由于二次函数图像过点（1，0）
因此a*3的平方+1=0解得a=-1/9
所以所求作二次函数解析式为y=-1/9(x+2)2+1
(此题是样题，所以就不进一步化简成一般形式）
两根式：已知函数图像与x轴两交点与另外一点首先必须有交点(b2-4ac>0)
y=a(x-x1)(x-x2)其中x1,x2是图像与x轴两交点并且是ax2+bx+c=0的两根
如果已知二次函数一般形式和与x轴的一个交点，则可以求出另一个交点利用根与系数的关系
例：y=x2+4x+3与x轴的一个交点是（-1,0)，求其与x轴的另一交点坐标
解：由根与系数的关系得：
x1+x2=-b/a=-4则x2=-4-x1=-4-(-1)=-3
所以与x轴的另一交点坐标为（-3,0)
另外将y=ax2+bx+c向右平移2个单位可得
y=a(x-2)2+b(x-2)+c
再向下平移2个单位得：y=a(x-2)2+b(x-2)+c-2
记住：“左加右减上加下减”
本回答纯属原创如有雷同不是巧合
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时间：2022-05-02 13:10
y=a(x-m)²+k(a≠0,a、m、k为常数),顶点坐标为（m,k)[5]对称轴为直线x=m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数
的图像相同，当x=m时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
2.交点式
y=a(x-x1)(x-x2)
(a≠0)
[仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0]
.
已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1,
0)和B(x2,
0),我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
3.三点式（已知三点求一般式）
已知二次函数上三个点，(x1,
y1)、(x2,
y2)、(x3,
y3)。把三个点分别代入函数解析式，
得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
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时间：2022-05-02 15:02
可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。
注意：草图要有
1本身图像，旁边注明函数。
2画出对称轴，并注明直线X=什么
（X=
-b/2a）
3与X轴交点坐标
（x1,y1);(x2,
y2)，与Y轴交点坐标(0,c)，顶点坐标(-b/2a,
(4ac-bx²/4a).
轴对称
1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x
=
h或者x=-b/2a
对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。
特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）
a,b同号，对称轴在y轴左侧
b=0,对称轴是y轴
a,b异号，对称轴在y轴右侧
顶点
2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P
(
h,k
)
当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2;+k
h=-b/2a
k=(4ac-b^2)/4a
开口
3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时，二次函数图像向上开口；当a决定对称轴位置的因素
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；
因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-
b/2a0,与b异号时（即ab0,
所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
可简单记忆为同左异右，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab
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时间：2022-05-02 17:10
二次函数解析析常用的有两种存在形式:一般式和顶点式.
(1)一般式:由二次函数的定义可知:任何二次函数都可表示为y=ax2+bx+c(a≠0),这也是二次函数的常用表现形式，我们称之为一般式.
(2)顶点式:二次函数的一般式通过配方法可进行如下变形:
y=ax2+bx+c=a(x2+
)=a[x2+
]=(a+
)
由二次函数图象性质可知:(-
)为抛物线的顶点坐标，若设
-
=h,
=k，二次函数的解析式变为:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)为抛物线的顶点坐标，所以，称y=a(x-h)2+k(a≠0)为二次函数的顶点式.特别地，当顶点在y轴上时，h=0，顶点式为y=ax2+k;当顶点在x轴上时，k=0，顶点式为y=a(x-h)2;当顶点在原点时，h=k=0，顶点式为y=ax2.
求二次函数解析式时，有时也用到二次函数的第三种存在形式--两根式，现对有关两根式的内容补充如下:
先对二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)的右边进行因式分解如下:
y=ax2+bx+c=a(
)
=a[
]
=a[
]
=a[(x+
)2-(
)(b2-4ac>0)
=
a(x+
-
)(
2
=a(x-
其中
(b2-4ac>0)是ax2+bx+c=0的两根，若设x1=
,x2=
,则y=ax2+bx+c(a≠0)可化为y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，因为x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两根，所以我们称y=a(x-x1)(x-x2)为二次函数的两根式.
当已知二次函数的抛物线与x轴交点坐标时，选用两根式y=a(x-x1)•(x-x2)求解比较简单，可先把两点坐标代入解析式，再由第三个条件求出a，即可得出解析式.
综合前面所述，在确定抛物线的解
