求大佬帮忙解一下这道微分方程题

发布网友发布时间：2022-11-10 19:31

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热心网友时间：2023-12-23 09:40

简单计算一下即可，答案如图所示

热心网友时间：2023-12-23 09:41

如下图所示，用换元法，令p=y'，代入就成了可分离变量的一阶线性常微分方程，解出通解之后，再代入特例，得出特解。

热心网友时间：2023-12-23 09:41

见下图：

热心网友时间：2023-12-23 09:42

p(x) =-[2x/(1+x^2)]

∫p(x) dx = ∫-[2x/(1+x^2)] dx = -ln|1+x^2|
e^[∫p(x) dx] = 1/(1+x^2)
//
(1+x^2)y''=2xy'
(1+x^2)y''-2xy' =0
y''-[2x/(1+x^2)]y' =0
两边乘以 1/(1+x^2)
[ 1/(1+x^2) ].[y''-[2x/(1+x^2)]y' ]=0
d/dx [y'/(1+x^2)] =0
y'/(1+x^2) = C1
y' =C1.(1+x^2)
y=∫ C1.(1+x^2) dx
= C1.x + (1/3)C1.x^3 +C2
y(0) =1 => C2=1
y' = C1 +C1.x^2
y'(0) =3 => C1=3
ie
y= 3x + x^3 +1

热心网友时间：2023-12-23 09:43

解:∵微分方程为(1+x²)y"=2xy'，化为
y"/y'=2x/(1+x²) ∴有ln|y'|=
ln|1+x²|+ln|a|(a为任意非零常数)
y'=a(1+x²)，y=ax+ax³/3+b(b为任意常数) ∵y(0)=1，y'(0)=3 ∴有a=3，b=1
∴微分方程的解y=3x+x³+1