B是正定矩阵,A-B是半正定矩阵.证明:|A-λB|=0的所有根λ≥1.

a^(-1)b 是正定矩阵即可 det(λa-b)=0 也是det(λe-a^(-1)b)=0 的根 a.b是正定矩阵,a^(-1)也是正定矩阵 对任意非零向量x有 ,设x‘a^(-1)x＞0 x‘bx＞0 ,注意 c=xx'=>0 c实际上是x各分量的平方和)x'a^(-1)bx=[x'a^(-1)x][x'bx ]/c＞0 所以 a^(-1)b...

【答案】：提示：由A正定知存在可逆矩阵P，使A=PTP，因B正定知(P-1)TBP-1也正定，可得|λA-B|=|λI-(P-1)TBP-1|，故所求方程的根即正定矩阵(P-1)TBP-1的特征值.

证明原命题. C = A+B是实对称阵, 故存在正交矩阵T, 使T'CT为对角矩阵.设T_i为T的第i个列向量, 有(T_i)'CT_i等于C的第i个特征值.另一方面(T_i)'AT_i等于T'AT的第i个对角元.∵B半正定, ∴(T_i)'BT_i ≥ 0, ∴(T_i)'CT_i ≥ (T_i)'AT_i.两边对i = 1, 2,.....

因为A正定，故存在可逆矩阵Q，使Q^TAQ=E。那么|入A-B|=0等式两边同时左乘|Q^T|，右乘|Q|，得到|入E-Q^TBQ|=0。因为B正定，所以D=Q^TBQ也正定。所以|入E-D|=0的解全是正数。

正定矩阵的定义就是：正惯性指数等于n，负惯性指数为0，而正惯性指数的意思就是特征值中正数的个数。所以，很显然啊，A正定的话，当然所有的特征值都为正咯。

证明：A是正定或半正定实对称矩阵的充要条件是A合同与对角矩阵diag(a1,a2,...,an)其中a1,a2,...,an都是非负数.即存在可逆矩阵C,使得C'AC=diag(a1,a2,...,an)所以A=(C')^-1diag(a1,a2,...,an)C^-1 =(C')^-1diag(√a1,√a2,...,√an)diag(√a1,√a2,...,√an)C^-...

设实矩阵A是正定矩阵，证明：对于任意正整数 Ak也是正定矩阵,A的特征值是λ 则A^K的特征值是λ^k (这个是常用结论)A是正定矩阵 则A所有特征值>0 λ^k>0 所以A^K的特征值也全都大于0 所以 A^k是正定矩阵

2、半正定矩阵：设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XT*A*X≥0，就称A为半正定矩阵。3、A∈Mn（K）是半正定矩阵的充分条件是：A的所有主子式大于或等于零。三、负定矩阵判定：1、设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XTAX<0，就称A为负定矩阵。2、A∈Mn（K）是负...

Ak是A的k次方？A的特征值是λ 则A^K的特征值是λ^k (这个是常用结论)A是正定矩阵 则A所有特征值>0 λ^k>0 所以A^K的特征值也全都大于0 所以 A^k是正定矩阵

02半正定矩阵的判定准则 判断一个矩阵是否为半正定矩阵,主要有以下几种方法。2.1 特征值判定法 设A为n阶实对称矩阵,λi为A的特征值。如果矩阵A的所有特征值λi都大于或等于0,则矩阵A为半正定矩阵。证明:由矩阵论知识可知,对称矩阵A的特征值实数,且与A相似对角矩阵D的对角元素即为A的特征值。即...