（2013?广州）已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在⊙O上运动（不与点B重合），连

发布网友发布时间：2022-11-30 00:32

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热心网友时间：2023-10-29 14:34

解答：（1）证明：连接OD，如答图①所示．
由题意可知，CD=OD=OA=

AB=2，OC=2

，
∴OD²+CD²=OC²
由勾股定理的逆定理可知，△OCD为直角三角形，则OD⊥CD，
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：①如答图②所示，连接OE，OD，则有CD=DE=OD=OE，
∴△ODE为等边三角形，∠1=∠2=∠3=60°；
∵OD=CD，∴∠4=∠5，
∵∠3=∠4+∠5，∴∠4=∠5=30°，
∴∠EOC=∠2+∠4=90°，
因此△EOC是含30度角的直角三角形，△AOE是等腰直角三角形．
在Rt△EOC中，CE=2OA=4，OC=4cos30°=2

，
在等腰直角三角形AOE中，AE=

OA=2

，
∴△ACE的周长为：AE+CE+AC=AE+CE+（OA+OC）=2

+4+（2+2

）=6+2

．
②存在，这样的梯形有2个．
答图③是D点位于AB上方的情形，同理在AB下方还有一个梯形，它们关于直线AB成轴对称．
∵OA=OE，∴∠1=∠2，
∵CD=OA=OD，∴∠4=∠5，
∵四边形AODE为梯形，∴OD∥AE，∴∠4=∠1，∠3=∠2，
∴∠3=∠5=∠1，
在△ODE与△COE中，

∠OEC＝∠OEC

∠3＝∠5

∴△ODE∽△COE，
则有

＝

，∴CE?DE=OE²=2²=4．
∵∠1=∠5，∴AE=CE，
∴AE?DE=CE?DE=4．
综上所述，存在四边形AODE为梯形，这样的梯形有2个，此时AE?DE=4．