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微积分也就图一乐什么意思

发布网友 发布时间:2022-04-22 11:51

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热心网友 时间:2023-09-30 02:03

微积分(Calculus)是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的,主要内容包括极限、连续、可微和重积分,最重要的思想就是“微元”和“无限*近”。微积分是微分学和积分学的总称,微分学就是‘无线细分’,积分学就是‘无限求和’,无限就是极限,微积分的基础就是极限的思想。


微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。 它是其余科目的基础,是重中之中。它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中,有越来越广泛的作用。

微积分(Calculus)是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。


一元微分

定义:  设函数y = f(x)在某区间内有定义,x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) – f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)(其中A是不依赖于Δx的常数),而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小,那么称函数f(x)在点x0是可微的,且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy = AΔx。   通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分,记作dx,即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此,导数也叫做微商。 几何意义  设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时,|Δy-dy|比|Δx|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。


多元微分

多元微分  多元微分又叫全微分,是由两个自变量的偏导数相对应的一元微分的增量表示的。   ΔZ=A*ΔX+B*ΔY+ο(ρ)为函数Z在点(x、y)处的全增量,(其中A、B不依赖于ΔX和ΔY,而只与x、y有关,ρ=[(x∧2+y∧2)]∧(1\2),A*ΔX+B*ΔY即是Z在点的全微分。总的来说,微分学的核心思想便是以直代曲,即在微小的邻域内,可以用一段切线段来代替曲线以简化计算过程。积分有两种:定积分和不定积分。定积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数。在应用上,定积分作用不仅如此,它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。 


一个函数的不定积分(亦称原函数)指另一族函数,这一族函数的导函数恰为前一函数。 

其中:[F(x) + C]' = f(x) 

一个实变函数在区间[a,b]上的定积分,是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。   定积分和不定积分的定义迥然不同,定积分是求图形的面积,即是求微元元素的累加和,而不定积分则是求其原函数,它们又为何通称为积分呢?这要靠牛顿和莱布尼茨的贡献了,把本来毫不相关的两个事物紧密的联系起来了。详见牛顿——莱布尼茨公式。

一阶微分与高阶微分,函数一阶导数对应的微分称为一阶微分; 一阶微分的微分称为二阶微分;   .......   n阶微分的微分称为(n+1)阶微分 

即:d(n)y=f(n)(x)*dx^n (f(n)(x)指n阶导数,d(n)y指n阶微分,dx^n指dx的n次方)   含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt, D2yt,…的函数方程,称为常差分方程(简称差分方程);出现在差分方程中的差分的最高阶数,称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为   F(t,yt,Dyt,…, Dnyt)=0,   其中F是t,yt, Dyt,…, Dnyt的已知函数,且Dnyt一定要在方程中出现。 

含有两个或两个以上函数值yt,yt+1,…的函数方程,称为(常)差分方程,出现在差分方程中未知函数下标的最大差,称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为   F(t,yt,yt+1,…,yt+n)=0,   其中F为t,yt,yt+1,…,yt+n的已知函数,且yt和yt+n一定要在差分方程中出现。 

常微分方程与偏微分方程的总称。含自变量、未知函数和它的微商(或偏微商)的方程称为常(或偏)微分方程。未知函数为一元函数的微分方程,称为常微分方程。未知函数为多元函,从而出现多元函数的偏导数的方程,称为偏微分方程。

热心网友 时间:2023-09-30 02:04

微积分是研究微分学和积分学的统称,英文名称是Calculus,意为计算。这是因为早期微积分主要用与天文、力学、几何学中的计算的问题。后来人们也将微积分称为分析学,或称无穷小分析,专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。极限是整个微积分学的基础。微分学包括求导和微分的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学包括不定积分和定积分的概念和应用,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
从17世纪开始,随着社会的进步和生产力的发展,以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决,数学也开始研究变化着的量,数学进入了“变量数学”时代。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究,但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨。[1]
(1)运动中速度与距离的互求问题
已知物体移动的距离

表为以时间为变量的函数

,求物体在任意时刻的速度和加速度;反过来,已知物体的加速度表为以时间为变量的函数公式,求速度和距离。这类问题是研究运动时直接出现的,困难在于,所研究的速度和加速度是每时每刻都在变化的。比如,计算物体在某时刻的瞬时速度,就不能象计算平均速度那样,用运动的时间去除移动的距离,因为在给定的瞬间,物体移动的距离和所用的时间是

,而

是无意义的。但是,根据物理,每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度,这也是无疑的。已知速度公式求移动距离的问题,也遇到同样的困难。因为速度每时每刻都在变化,所以不能用运动的时间乘任意时刻的速度,来得到物体移动的距离。
(2)求曲线的切线问题
这个问题本身是纯几何的,而且对于科学应用有巨大的重要性。由于研究天文的需要,光学是十七世纪的一门较重要的科学研究,透镜的设计者要研究光线通过透镜的通道,必须知道光线入射透镜的角度以便应用反射定律,这里重要的是光线与曲线的法线间的夹角,而法线是垂直于切线的,所以总是就在于求出

微积分基础-割圆术
法线或切线;另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现于运动的研究中,求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向,即轨迹的切线方向。
(3)求长度、面积、体积、与重心问题等
这些问题包括,求曲线的长度(如行星在已知时期移动的距离),曲线围成的面积,曲面围成的体积,物体的重心,一个相当大的物体(如行星)作用于另一物体上的引力。实际上,关于计算椭圆的长度的问题,就难住数学家们,以致有一段时期数学家们对这个问题的进一步工作失败了,直到下一世纪才得到新的结果。又如求面积问题,早古希腊时期人们就用穷竭法求出了一些面积和体积,如求抛物线在区间

上与

轴和直线

所围成的面积

,他们就采用了穷竭法。当分割的份数越来越多时,所求得的结果就越来越

使用到微积分方法的割圆术
接近所求的面积的精确值。但是,应用穷竭法,必须添上许多技艺,并且缺乏一般性,常常得不到数字解。当阿基米德的工作在欧洲闻名时,求长度、面积、体积和重心的兴趣复活了。穷竭法先是逐渐地被修改,后来由于微积分的创立而根本地修改了。
(4)求最大值和最小值问题(二次函数,属于微积分的一类)
例如炮弹在炮筒里射出,它运行的水平距离,即射程,依赖于炮筒对地面的倾斜角,即发射角。一个“实际”的问题是:求能够射出最大射程的发射角。十七世纪初期,Galileo断定(在真空中)发射角是

时达到最大射程;他还得出炮弹从各个不同角度发射后所达到的不同的最大高度。研究行星的运动也涉及到最大值和最小值的问题。
微积分的产生一般分为三个阶段:极限概念;求积的无限小方法;积分与微分的互理关系。
微积分思想在古代中国早有萌芽,公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想

古代微积分(2张)
;公元前4世纪《墨经》中就有了有穷、无穷、无限小(最小无内)、无穷大(最大无外)等思想。
三国时期的刘徽,于公元263年首创的割圆术求圆面积和放椎体积,求得圆周率约等于3.1416,他的极限思想和无穷小方法,是世界上古代极限思想的深刻体现。[1]刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明,到公元5世纪,祖暅求球体体积的方法中都使用到微积分的思想方法。
北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创的“隙积术”、“哈圆术”和“方法棋局都数术”开创了对高阶等差别数求和的研究。 南宋大数学家秦九韶于1247年撰写了划时代巨著《数书九章》十八卷,创举世闻名的“大衍求一术”——增乘开方法求任意次数(高次)方程的近似解,比西方早500多年。特别是13世纪40年代到14世纪初,在主要领域都达到了中国古代数学的高峰,出现了现通称贾宪三角形的“开方作法本源图”和“增乘开方法”、“正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”(一次同余组解法)、“垛积术”(高阶等差级数求和)、“招差术”(高次内差法)、“天元术”(数字高次方程一般解法)、“四元术”(四元高次方程组解法)、勾股数学、弧矢割圆术、组合数学、计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果,中国古代数学有了微积分前两阶段的出色工作,其中许多都是微积分得以创立的关键,中国已具备了17世纪发明微积分前夕的全部内在条件,已经接近微积分的大门。可惜中国元朝以后,八股取士制造成了学术上的大倒退,封建统治的文化*和盲目排外致使包括数学在内的科学日渐衰落,在微积分创立的最关键的一步上落伍了。
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