证明：在RtΔABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD
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发布时间：2022-06-29 22:35
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时间：2023-10-13 19:38
证明：
设△ABC的内切⊙O与AC切于E，与AB切于F，连接OD，OE，OF
则BD=BF，CD=CF，AE=AE（从圆外一点引圆的两条切线长相等）
∵OE⊥AC，OF⊥AB，∠A=90°
∴四边形AEOF是矩形
∵OE=OF
∴四边形AEOF是正方形
设OD=OE=OF=AE=AF=r
则AB=BF+AF=BD+r
AC=CE+AE=CD+r
根据勾股定理AB²+AC²=BC²
（BD+r）²+（CD+r）²=（BD+CD）²
BD²+2BDr+r²+CD²+2CDr+r²=BD²+2BD×CD+CD²
BD×CD=BDr+CDr+r²
∵S四边形BDOF=S△BDO+S△BFO=2S△BDO=BDr
S四边形CDOE=2S△CDO=CDr
S正方形AEOF=r²
S△ABC=S四边形BDOF+S四边形CDOE+S正方形AEOF
∴S△ABC=BD×CD
