如何知道二元偏导数的极值是在区域内还是区域边界取得的

发布网友发布时间：2022-07-06 09:08

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热心网友时间：2023-10-06 07:02

在x,y区域内某点(x0,y0)：∂z/∂x=0 ∂z/∂y=0 (1) 是z(x,y)取极值的必要条件；
记：A = ∂²z/∂x² B = ∂²z/∂x∂y C = ∂²z/∂y²
在x,y区域内某点(x0,y0)： B²-AC < 0 (2) 时，z(x0,y0) 为极值；
A<0, 为极大值；A>0为极小值。(2)式>0 不是极值；=0时不确定！
在定义域内若无驻点，极值在区域边界点上。
例1：Z = x^3 + y^3 ∂Z/∂x=3x² ∂Z/∂y=3y² x=0 y=0 为Z(x，y)的驻点
A＝∂²Z/∂x²＝6x B=∂²Z/∂x∂y＝0 C=∂²Z/∂y²＝6y
A=B=C=0 因此：极值点在边界上，如果x，y～R,则无极值！这就象y=x^3,没有驻点、没有极值一样。
如果定义域(x,y)为[-1,1],那么极值就出现在边界上。
例2: Z=x^2+y^2+1 一阶偏导为零的点：x0=y0=0；A=C=2>0 B=0 B^2-AC=-4<0 Z(0,0)为极小值！（Zmin＝1）

热心网友时间：2023-10-06 07:03

在区域内取到，详情如图所示