棣莫佛定理证明
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发布时间：2022-04-22 10:48
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时间：2022-05-13 00:38
我们用数学归纳法来证明。（注意，我们要用i²＝－1这个基本定义。）
n＝1时，有z＝r(cosa＋isina),————————①
设n＝k时命题成立，即z^k＝r^k﹙coska＋isinka﹚,
当n＝k+1时，z^(k+1)＝r^k·r(coska＋isinka)(cosa＋isina)
＝r^(k+1)﹛﹙coskacosa－sinkasina﹚＋i﹙sinkacosa＋coskasina﹚﹜
＝r^(k+1)﹛cos(k+1)a＋isin(k+1)a﹜,——————②
因为n是任意的正整数，所以由以上①②两步，可以断言：
命题得证。
热心网友
时间：2022-05-13 01:56
我们用数学归纳法来证明。（注意，我们要用i²＝－1这个基本定义
热心网友
时间：2022-05-13 03:30
x+isin
x),Z'=r'(cos
x'+isin
x')
则Z*Z'=rr'(cos
(x+x')+isin
(x+x'))
令Z=Z'，得Z^2=r^2(cos
2x+isin
2x)
继续用Z乘这个式子，得Z^3=r^2(cos
3x+isin
3x)
设当n=k－1时，有Z^n=r^(k－1)(cos
(k－1)x+isin(k－1)x)
则n=k时
Z^n=r^(k－1)(cos
(k－1)x+isin(k－1)x)×r(cos
x+isin
x)
=r^k[cos
(k－1)xcos
x－sin(k－1)xsin
x＋i﹙sin(k－1)xcos
x＋sin
xcos
(k－1)x﹚]
=r^k(cos
kx+isinkx),也成立
∴n∈N，Z^n=r^n(cos
nx+isin
nx)
或者不用数学归纳法，可以这样证明：
引入欧拉公式：e^ix
=
cosx
+
isinx
将e^t，sint
，
cost
分别展开为泰勒级数：
e^t
=
1
+
t
+
t^2/2!
+
t^3/3!
+
……
+
t^n/n！+
……
sint
=
t
-
t^3/3!+t^5/5!-t^7/7!+……-……
cost
=
1
-
t^2/2!+t^4/4!-t^6/6!+……-……
将t
=
ix
代入以上三式
，可得欧拉公式
应用欧拉公式，（cosx＋isinx）^n
=
(e^ix)n
=e^inx
=cos(nx)+isin(nx)
