抛物线的特点及其性质有哪些？
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发布时间：2022-04-22 09:52
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时间：2023-06-29 14:13
定义
平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。
标准方程标准方程 右开口抛物线：y^2=2px
左开口抛物线:y^2= -2px
上开口抛物线：x^2=2py
下开口抛物线:x^2= -2py
[p为焦准距（p>0）]
特点
在抛物线y^2=2px中，焦点是(p/2，0），准线的方程是x= -p/2，离心率e=1，范围：x≥0；
在抛物线y^2= -2px 中，焦点是( -p/2，0），准线的方程是x=p/2，离心率e=1，范围：x≤0；
在抛物线x^2=2py 中，焦点是（0，p/2），准线的方程是y= -p/2,离心率e=1，范围：y≥0；
在抛物线x^2= -2py中，焦点是（0，-p/2），准线的方程是y=p/2，离心率e=1，范围：y≤0；
(对于向右开口的抛物线)
离心率：e=1
焦点:(p/2，0)
准线方程l:x=-p/2
顶点：(0，0)
通径：2P ；定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦 定义域（X≥0）
值域（Y∈R)
解析式求法 以焦点在X轴上为例
知道P（x0，y0)
令所求为y^2=2px
则有y0^2=2px0
∴2p=y0^2/x0
∴抛物线为y^2=(y0^2/x0)x
光学性质 经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴。各种探照灯、汽车灯即利用抛物线（面）的这个性质，让光源处在焦点处以发射出（准）平行光。
对于圆、抛物线、椭圆三种曲线，他们的光学性质有一定的规律性：圆将所有从圆心射出的光线反射回圆心，抛物线反射成平行线，而椭圆将从一个焦点发出的光反射到另一个焦点。
抛物线方程 焦点准线式（标准方程）
焦点：F(m,n)
准线：L：ax+by+c=0
方程为：[x^2-2mx+m^2+y^2-2ny+n^2]^1/2=[(ax+by+c)^2/(a^2+b^2)]^1/2
整理得 b^2x^2-2abxy+a^2y^2-2(ac+ma^2+mb^2)x-2(bc+na^2+nb^2)y+(m^2+n^2)(a^2+b^2)-c^2=0
面积 Area=2ab/3
弧长 Arc length ABC
=√(b^2+16a^2 )/2+b^2/8a ln((4a+√(b^2+16a^2 ))/b)
其他 抛物线：y = ax^2 + bx + c （a≠0)
就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c
a > 0时开口向上
a < 0时开口向下
c = 0时抛物线经过原点
b = 0时抛物线对称轴为y轴
还有顶点式y = a（x-h）^2 + k
就是y等于a乘以（x-h）的平方+k
h是顶点坐标的x
k是顶点坐标的y
一般用于求最大值与最小值
抛物线标准方程：y^2=2px
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py
过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A（x1,y1)，B(x2,y2),有
① x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = —P^2,要在直线过焦点时才能成立
② 焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)^2]
③ （1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P
④若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）
⑤焦半径：|FP|=x+p/2 （抛物线上一点P到焦点F距离等于到准线L距离）
⑥弦长公式：AB=√（1+k^2）*│x2-x1│
⑦△=b^2-4ac
⑴△=b^2-4ac>0有两个实数根
⑵△=b^2-4ac=0有两个一样的实数根
⑶△=b^2-4ac<0没实数根
⑧由抛物线焦点到其切线的垂线距离，是焦点到切点的距离，与到顶点距离的比例中项。
⑨标准形式的抛物线在x0，y0点的切线就是：yy0=p(x+x0)
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时间：2023-06-29 14:14
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到
。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2;-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2;-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
_______
Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
7.特殊值的形式
①当x=1时 y=a+b+c
②当x=-1时 y=a-b+c
③当x=2时 y=4a+2b+c
④当x=-2时 y=4a-2b+c
8.定义域：R
值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）
奇偶性：偶函数
周期性：无
解析式：
①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；
⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；
⑷Δ=b^2-4ac,
Δ＞0，图象与x轴交于两点：
（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；
Δ＝0，图象与x轴交于一点：
（-b/2a，0）；
Δ＜0，图象与x轴无交点；
②y=a(x-h)^2+k[顶点式]
此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a；
③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0）
对称轴X=(X1-X2)/2 当a>0 且X≧(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≦（X1+X2）/2时Y随X的增大而减小
此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。
