椭球面的性质

发布网友发布时间：2022-06-15 09:08

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热心网友时间：2023-10-24 06:36

一般地，运用解析方法对曲面标准方程进行讨论的步骤可概括为：
(1) 曲面的对称性：讨论图形各部分之间的关系；
(2) 曲面的范围：讨论图形存在的范围；
(3) 曲面和坐标轴、坐标平面的关系：以便对图形的大概轮廓有所了解；
(4) 确切研究曲面的弯曲变化情况：主要方法是平行截割法. 它是用一族平行平面来截割曲面，研究截口曲线是怎样变化的，也叫平行截面法，或平行截口线法.
2．讨论过程：
(1) 曲面的对称性：椭球面关于三坐标平面、三坐标轴、坐标原点都对称. 椭球面的对称平面、对称轴与对称中心依次叫做椭球面的主平面、主轴与中心.
(2) 曲面与坐标轴的交点：椭球面的三条对称轴与椭球面的交点叫做椭球面的顶点, 因此椭球面的顶点为 (±a, 0, 0), (0, ±b, 0), (0, 0, ±c). 同一条轴上的两顶点间的线段以及它们的长度2a, 2b, 2c叫做椭球面的轴，它的一半叫做半轴. 当a>b>c>0时，2a, 2b, 2c分别叫做椭球面长轴、中轴、短轴，而a, b, c分别叫做椭球面的长半轴、中半轴、短半轴.
(3) 曲面的存在范围：椭球面完全被封闭在一个长方体的内部，这个长方体由六个平面：x=±a, y=±b, z=±c所围成.
(4) 被坐标面所截得的曲线：
① ② ③
分别为xOy, xOz, yOz坐标面上的椭圆，它们叫做椭球面的主截线(或主椭圆).
(5) 被坐标面的平行平面所截得的曲线：考虑截线
x²/a²+y²/b²+z²/c²=1 z=h 或 x²/a²+y²/b²=1-z²/c² z=h ④
椭球面可以看成由此椭圆族④所生成，这些椭圆所在平面与xOy坐标面平行，而椭圆的两双顶点分别在另外两个椭圆②与③上.
用平行于其他坐标面的平面来截割椭球面，结论类似.
3. 椭球面的参数方程为
x=asinθcosφ
y=bsinθsinφ
z=ccosθ (0≤θ≤π, 0≤φ<2π)
从中消去 θ, φ可得椭球面的标准方程.