几题高中数学推理证明题
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发布时间：2022-07-01 16:59
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时间：2022-07-08 06:36
证明：
假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4
因0<a<1,0<b<1,0<c<1
所以有
√((1-a)b)>1/2,√((1-b)c)>1/2,√((1-c)a)>1/2
则
√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a) > 3/2 (*)
而由基本不等式：a,b∈R+, a+b≥2√(ab), 有
√((1-a)b)≤(1-a+b)/2，
√((1-b)c)≤(1-b+c)/2，
√((1-c)a)≤(1-c+a)/2
所以
√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)≤3/2
这与已知的：√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a) > 3/2 (*)矛盾
所以假设不成立,
故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于1/4
证毕。
2. 证明 因为a＞b＞c,所以 a-c=a-b+b-c，b-c>0,a-b>0,a-c>0。
令 x=a-b,y=b-c，显然x>0,y>0.所证不等式等价于
1/x+1/y≥4/(x+y)
<==> (x+y)/(xy)≥4/(x+y)
<==> (x+y)^2≥4xy
<==> (x-y)^2≥0,显然成立，当2b=a+c时取等号。
