03高通量测序-PCA中的主要概念

发布网友发布时间：2022-09-23 04:28

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热心网友时间：2023-07-19 23:24

我们使用SVD（singular value decomposition，中文译名“奇异值分解”）的方法来计算PCA。我们先看一个简单的案例，在这个案例中，我们检测了6只不同小鼠的2个基因。其实我们可以把它再抽象化一下，把小鼠看成样本，基因看成2个变量。如果我们只检测1个基因的话（Gene 1），那么我们根据基因1表达的情况，把小鼠的绘制到数轴上，小鼠1，小鼠2，小鼠3的Gene 1表达水平比较高，而小鼠4，小鼠5，小鼠6的Gene 1水平则较低。虽然这个图形比较简单，但是，我们从中还是能得到一些信息的，例如小鼠1，小鼠2和小鼠3比较接近，小鼠4，小鼠5和小鼠6比较接近。

如果我们检测了2个基因，那么我们可以绘制一个二维坐标系，横轴是Gene 1，纵轴是Gene 2，那么小鼠1，小鼠2和小鼠3会聚在一起，小鼠4，小鼠5和小鼠6会聚在一起。

如果我们检测了3个基因，那么我们可以绘制三维的坐标系，在上图的这个3维坐系中，圆点越大，表示离你越近。如下所示：

再进一步，如果我们检测了4个基因，此时我们很难绘制出四维的坐标系，那么我们就需要进行PCA分析了，PCA可以把超过4个的基因降维成二维的坐标系，在这个PCA的二维坐标系中，我们可以发现，小鼠4、小鼠5和小鼠6是一类，小鼠1，小鼠2和小鼠3是一类，它们的各自的基因表达模式也类似，PCA在对数据进行聚类（clustering）时有很大的价值，例如，经过PCA分析，在它的二维坐标轴上我们可以发现，Gene 3在x轴上对样本的区分有贡献最大

我们还回最初2个基因的案例上来：

此时，我们可能有疑问，为什么这条直线是最匹配数据的，它的计算原理是什么，那么接着看。我们先回到最初的直线，为了准确地找出最佳匹配所有数据的直线，PCA会将所有数据点都映射到这条直线上来，此时，可以计算这些数据点到投射到这条直线上的距离，并且使这些距离最小，除了可以计算数据点到直线的距离最小外，还要计算所有数据点投射到这条直线上的点（图中绿叉位置所在点）到原点的距离，使这个距离最大。

通过勾股定理，我们可以知道，因为a不变，当数据点到直线的距离最短时(b)，投影点到原点的距离最大(c)

我们计算投影点到原点的距离，我们把它我们把它命名为d1，d2......计算剩余的投影点到原点的距离。然后把这些值的平方加起来称为SS(distances)。我们旋转直线，直到SS的值最大,此时数据点到直线的距离最短。这条直线就叫第一主成分（Principal Component 1，简称PC1）。

对于PC1，斜率为0.25。也就是说基因1增加4个单位，基因2增加1个单位。计算出红色箭头的长度为4.12。

当你用SVD(singular value decomposition,奇异值分解)进行PCA时，红色箭头的长度=1，我们所要做的就是把这个三角形缩小到红箭头是1个单位时，只需每边除以4.12。

三个边长分别变成了1，0.242，0.97，但，Gene1/Gene2仍然等于4。此时我们可以说PC1由0.97的Gene1和0.242的Gene2构成。

我们回顾一下计算过程：

这个单位向量由基因1的0.97和基因2的0.242部分组成，称为PC1的“奇异向量”(Singular Vector)或“特征向量”(Eigenvector)，每个基因的比例则被称为载荷得分（Loading Scores）。原始数据的投影点到原点的距离的平方SS被称为PC1的特征值(Eigenvalue)。PC1的特征值的平方根叫做PC1的奇异值(Singular value)。

因为是一个二维图，PC2只是一条垂直于PC1的穿过原点的直线，没有任何进一步的优化要做。由于PC2与PC1垂直，所以斜率为-4，也就是说PC2由-1份Gene1和4份Gene2组成。如果我们对所有东西进行缩放，得到一个单位向量，PC2由-0.242个Gene 1和0.97个Gene 2构成，称为PC2的“奇异向量”(Singular Vector)或“特征向量”(Eigenvector)。每个基因的比例则被称为载荷得分（Loading Scores），告诉我们，就基因值如何投射到PC2上而言，Gene2的重要性是Gene1的4倍

最后，PC2的特征值是投影点到原点的距离的平方和。

此时，PC1和PC2的计算结束，绘制最终的PCA图，如下所示：

然后旋转这个坐标，让PC1水平，PC2垂直，如下所示：

在这个新的坐标系中，图中黑色的叉就表示原始的样本6（Sample 6），如下所示：

而Sample 6位于这个点上：

同理，Sample 2在这里：

我们可以将特征值转化为PC1到原点的变异，通过除以样本大小减1：n-1。这个例子，假设PC1的变异为15,PC2的变异为3。这意味着PCs的变化是15 +3= 18。PC1占了PCs变异的15 / 18= 0.83 = 83%。PC2占了3/18= 0.17= 17%的PCs变异。

碎石图(scree plot)是用图形表示每个PC所占的变异百分比。

PCA有3个变量(在这种情况下，3个基因)几乎等同于2个变量

然后找到经过原点的最佳拟合直线，和之前一样，最佳拟合线是PC1。PC1现在有三种成分：0.62的Gene1、0.15的Gene2和 0.77的Gene3，Gene3 是最主要的组成部分。然后求出PC2，它经过原点并垂直于PC1。PC2现在有三种成分：0.77的Gene1、0.62的Gene2和 0.15的Gene3，Gene1 是最主要的组成部分。然后，我们找到了PC3，这条最合适的直线，它通过原点并垂直于PC1和PC2。如果我们有更多的基因，我们就会通过添加垂线和旋转它们来不断寻找越来越多的主成分，理论上，每个基因(或变量)都有一个。但在实际操作中，PC的数量不是变量的数量或者样本的数量，取其中较小的一个。一旦你找出了所有的主成分，你可以使用特征值(即SS(距离))来确定每个PC的变化比例。在这个例子中，PC1=79%，PC2=15%,PC3=6% ,PC1和PC2占了变异的绝大比例。这就表明了，在二维图中，我们基本上只使用PC1和PC2就能解释三维图中的数据，因为二维图中的PC1和PC2占据了整体的变异的94%，

为了将3-D图像转换成2-D的PCA图像，我们去掉了所有除了数据和PC1、PC2。将数据投影到PC1和PC2上，然后旋转坐标轴，这是我们新的PCA图中的样本4。

最后，我们使用PC1和PC2将数据绘制成二维图形。

如果我们测量每只老鼠的4个基因，我们不可能画出一个四维图数据，但这并不妨碍我们进行PCA计算，并查看碎石图。在这种情况下，我们可以计算主成分，发现PC1和PC2占变异的90%，所以我们可以使用它们来绘制二维PCA图。

注意：如果碎石图中PC3和PC4占据了大量的变化，那么仅仅使用前2个PCs并不能创建一个非常准确的数据表示。然而，即使像这样一个PCA图也可以用来识别数据分类。