算子代数是一门怎样的数学分支

发布网友发布时间：2022-09-19 14:51

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热心网友时间：2023-10-28 14:05

算子代数是一个很年轻的学科，诺伊曼先生为了量子力学公理化建构出来，先有vonneumann代数后有c*代数。同属一个分支，但从考虑的问题到应用的方法方面来说，两者截然不同。c*代数，现在共有三个大方向：应用在物理，应用在其他数学分支（以几何拓扑为主），以及内部有意义的问题。应用在物理方面我了解的不多，但是@千本同学非常了解。自身的问题，一部分集中在c*代数分类上面，学习这方面知识，如果是走winter或者林华新老师的路子，主要需要代数和分析功底。用分析来实现代数的洞察是林老师的格言。代数主要是群环理论，同调代数，代数k理论等，分析则最好多用调和分析和函数论熏一熏。如果走龚贵华老师的路子，那么需要深厚的拓扑功底。不论是哪种分类，都离不开k理论。上面提到的三个人是当下分类理论最具代表性的三个牛人。关于c*代数的性质和内在结构方面，则其他知识需要不是太多，但水平基本上取决于你的“课外知识”，尤其是算子。应用在其他数学分支，主要得益于K理论和Allen Connes的非交换几何理论，现在最风生水起的方面是由华人教授郁国梁老师领衔的推广Atiyah-singer指标定理。若想从这方面学习，入门大约需要三四年，需要足够扎实的泛函分析基础，扎实的拓扑基础，基本的微分几何，K理论，然后看一本c*代数专业书籍，对c*代数本身及其分类有一定了解，然后酌情学习Atiyah-Singer指标理论（17+only），几何群论，和拓扑动力系统知识。c*代数可以看作一种拓扑理论，所以学习拓扑是自然的。von neumann代数则可以看作是测度理论，本质上是一种分析。所以两者差别极大，不喾隔山。分析功底要求极厚，所需要学习的主要是测度论，调和分析，熵理论，遍历理论，群论（群论在这里非常重要）等。目前华人数学家李寒峰是个中佼佼。voiculescu还搞出来一个自由测度论，十分艰深，没有接触过。看缘分可能还会学到一点knot理论，fields奖的工作呀！大概就这些了。其实我诚然是个学渣，至今为止没有形成成熟完备的关于该领域的大局观，以上都是平时听来的只言片语拼凑的。上面提到了好多华人的名字，他们确实都是该领域里面最有影响力的大牛。但是从整体实力来说，最强的地方还是日本和加拿大。日本传统深厚，学者众多，对加拿大而言，算子代数更是几成国学。法国德国北欧国家都具有杰出人物，美国当然什么都会ok。算子代数并非主流学科，我的老师说过：普林斯顿里面没有我们这个领域的学者不是普林斯顿的问题，而是我们的问题。