二次函数,二次方程等综合应用
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发布时间：2022-04-23 00:28
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时间：2023-10-09 07:44
1、判断f(x)在区间(a, b)上的单调性，并加以证明；
2、若x0∈(a, b)，求证f(x0)∈(-b, -a)。
解：
1、设h(x)=x^2-mx-1，两个零点分别为a、b（a<b），由函数图象可知，当a<x<b时，h(x)<0，即x^2-m*x-1<0。
对f(x)求导，f'(x)=-2(x^2-m*x-1)/(x^2+1)^2，
由上面所证结论知，当x∈(a, b)时，x^2-m*x-1<0，故f'(x)>0，所以f(x)在区间(a, b)内的单调递增。
2、由韦达定理，a+b=m，a*b=-1，
f(b)=(2b-(a+b))/(b^2-ab)=(b-a)/b(b-a)=1/b=-a，
同理，f(a)=-b。
根据单调性，当x0∈(a, b)是，f(a)<f(x0)<f(b)，即-b<f(x0)<-a，亦即f(x0)∈(-b, -a)。
