指数函数的线性叠加构成的函数的单调性如何讨论?
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发布时间：2022-09-06 12:28
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时间：2024-08-12 12:00
单调性讨论方法如下：
（1）首先，假设指数函数x1(t)、x2(t)、x3(t)、...、xn(t)线性叠加构成函数y(t)；
（2）然后，划分定义域[A, B]、(B, C]、(C, D]、...；
（3）接着，在各个定义域上进行求导，获得零点（若有零点，则只有一个）；
（4）最后，合并各个定义域上的求导结果、零点，组合即得函数y(t)的单调性。
举个例子：
（1）x1(t)=exp(t)，x2(t)=exp(2-t)，x3(t)=0.5^t，且y(t)=e^t+e^(2-t)+0.5^t；
（2）划分定义域为(负无穷, 0]、(0, 2]、(2, 正无穷)；
（3）在定义域(负无穷, 0]上，y'(t)=e^t-e^(2-t)+ln(0.5)*0.5^t，无零点且y'(t)<0；
（4）在定义域(0, 2]上，y'(t)=e^t-e^(2-t)+ln(0.5)*0.5^t，有零点且零点位于1附近；
（5）在定义域(2, 正无穷)上，y'(t)=e^t-e^(2-t)+ln(0.5)*0.5^t，无零点且y'(t)>0；
（6）综上，y(t)在(负无穷, 1附近零点]上单调递减，(1附近零点, 正无穷)上单调递增。其部分图像如下：
图 函数y(t)
