雅可比迭代法的计算公式
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发布时间：2022-04-23 01:16
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时间：2022-05-01 14:27
设n阶线性方程组
地球物理数据处理基础
的系数矩阵A非奇异，且对角元素aii（i＝1，2，…，n）均不为零。则可分别从方程组（5－1）的第i个方程解出xi（i＝1，2，…，n）。这样，方程组（5－1）就改写为同解方程组
地球物理数据处理基础
其分量形式可统一记为
地球物理数据处理基础
选取初始向量x（0）＝（x（0）1，x（0）2，…，x（0）n）T，将其代入方程组（5－3）的右端，进行第一次迭代，计算结果记为x（1）＝（x（1）1，x（1）2，…，x（1）n）T；再将x（1）代入方程组（5－3）的右端，进行第二次迭代，计算结果记为x（2）＝（x1（2），x2（2），…，xn（2））T。如此继续，就得到了如下迭代格式：
地球物理数据处理基础
记x（k）＝（x1（k），x（k）2，…，xn（k））T，按照式（5－4）进行迭代得出解向量序列｛x（k）｝的方法称为雅可比迭代法，简称J－迭代法。由于在式（5－4）每步迭代中，等式右端所有分量都是利用前一步的迭代结果，故又称为同步迭代法或简单迭代法。
由此可见，雅可比迭代法的迭代公式简单，每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法，在计算时只需用两组存储单元，以便存储x（k）和x（k＋1）。但必须指出，上述所得的向量序列｛x（k）｝是否收敛于Ax＝b的解是有条件的，而且即使同样是收敛的，还有收敛速度快慢的问题。
［例］用J－迭代法解方程组
地球物理数据处理基础
解：方程组的雅可比迭代计算式为
地球物理数据处理基础
若取x（0）＝（0，0，0）T，可得到表5－1所列迭代序列。
表5－1 迭代序列
若取ε＝10－4，则‖x（12）－x（11）‖∞<ε，可取x12＝（－0.000034，0.499988，0.000025）T为方程组的解。
