等于的数学含义
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发布时间：2022-04-23 01:13
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时间：2023-09-26 17:55
数学上，两个数学对象是相等的，若他们在各个方面都相同。这就定义了一个二元谓词等于，写作“=”；x = y 当且仅当x 和y 相等。通常意义上，等于是通过两个元素间的等价关系来构造的。将两个表达式用等于符号连起来，就构成了等式。
注意，有些时候“A = B”并不表示等式。例如，T（n）= O(n)表示在数量级 n上渐进。因为这里的符号“=”不满足当且仅当的定义，所以它不等于等于符号；实际上，O(n) = T（n）是没有意义的。请参见大O符号了解这部分内容。
集合A 上的等于关系是种二元关系，满足自反性，对称性，反对称性和传递性。 去掉对反对称性的要求，就是等价关系。 相应的，给定集合A上的任意等价关系R，可以构造商集A/R，并且这个等价关系将‘下降为’A/R 上的等于。
在任何条件下都成立的等式称为恒等式，包含未知数的等式称为方程式。 替代性：
对任意量a和b和任意表达式F（x），若a=b，则F（a）=F（b）（设等式两边都有意义）。
在一阶逻辑中，不能量化像F这样的表达式（它可能是个函数谓词）。
一些例子： 对任意实数a，b，c，若a=b，则a+c=b+c（这里F（x）为x+c）； 对任意实数a，b，c，若a=b，则a-c=b-c（这里F（x）为x-c）； 对任意实数a，b，c，若a=b，则a'c=b'c（这里F（x）为x'c）； 对任意实数a，b，c，若a=b且c不为零，则a/c=b/c（这里F（x）为x/c）； 自反性：
对任意量a，a=a。
这个性质通常在数学证明中作为中间步骤。
对称性：
对任意量a和b，若a=b，则b=a。
传递性：
对任意量a，b，c，若a=b且b=c，则a=c。
实数或其他对象上的二元关系“约等于”，即使进行精确定义，也不具有传递性（即使看上去有，但许多小的差别能够叠加成非常大的差别）。
尽管对称性和传递性通常看上去是基本性质，但它们能够通过替代性和自反性证明得到。 “等于”符号或 “=”被用来表示一些算术运算的结果，是由Robert Recorde在1557年发明的。
由于觉得书写文字过于麻烦，Recorde在他的作品 The Whetstone of Witte 中采用了这一符号。原因是符号中的两条线一样长，表明其连接的两个量也相等。这一发明在威尔士的St Mary教堂有记录。
约等于的符号是≈或≒，不等于的符号是≠。
