多项式分解因式
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发布时间：2022-04-22 22:22
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时间：2022-04-28 01:34
多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，也是代数式恒等变形的一个重要组成部分。因式分解在代数式的运算、解方程等方面都有极其广泛的应用。因此，它是初中数学中有着十分重要地位的基础知识，也是初等代数学习中一项重要的基本技能训练。
1 多项式因式分解的定义
多项式因式分解在不同的学段和不同的研究层次有着不同的定义方式。在初中代数中，多项式的因式分解定义为：把一个多项式分解成几个多项式的积的形式，叫做多项式的因式分解。而在初等代数中则是：在给定的数域F ，把一个多项式表示成若干个不可约多项式的乘积的形式，叫做多项式的因式分解。在高等代数中，多项式因式分解的定义方式与初等代数中的定义方式完全一致。相比较而言，后两种定义方式非常的完善，而第一种定义方式则不够严谨，这种情况的产生是由于学习者的认知水平和学习、研究的深度不同决定的。
2 多项式的唯一分解定理和标准分解式
在对一个多项式进行因式分解时，我们首先要讨论这个多项到底分解到什么程度，对此，高等代数中给出了多项式的唯一分解定理和多项式的标准分解式。其内容和证明过程可参见《高等代数》（张禾瑞、郝新主编、高等教育出版社1983年9 月第3版）。
3 分解因式应注意的两点
第一、一定要分解到再不能分解为止。例如： 粗看起来似乎是不能再分解了，事实上，
= = ，
因此还是可以分解的。
第二、要注意在哪个范围内进行分解。例如： 在有理数范围内进行因式分解，只需分解为 = 就可以了，如果在实数范围内进行分解，就应该分解为 而在复数域中分解为
在进行多项式的因式分解进，以上两点应该引起我们的高度重视。
4 因式分解的方法
4．1提公因式法
定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
提公因式分解多项式时，关键是找公因式，找公因式应按下面规则去找：系数应是各项系数的最大公约数，字母应是各项都含有的相同字母的最低次幂。
提取公因式法进行因式分解要注意四点：一是公因式要提尽；二是不要漏掉“1”；三是首项取正号；四是公因式是多项式时，要注意符号问题。
例1：
4．2公式法
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法，因式分解公式有：
平方差公式：
立方和（差）公式：
完全平方公式：
其中公式中的a和b都可以表示任何一个代数式，凡是具备公式左边的结构特点的代数式，都可以按照公式分解为右边的形式，达到因式分解的目的，灵活地运用这些公式就可以把一些代数式因式分解。
例2：
4．3分组分解法
一个多项式如果不能直接提取公因式，或者也不能直接运用公式法分解，这时常常考虑用多组分解法。应用分组分解法的目的就是要将一个多项式适当地进行分组，使每个组便于分解，而组与组之间又有公因式或可用公因式继续分解。因此绝对不能盲目地进行分组，恰当地分组是分组分解法的关键和核心。分组分解的多项式是多种多样的，所以必须对具体问题作具体分析，能正确地把多项式进行分组，达到因式分解的目的。
利用分组分解法分解因式应遵循以下两条原则：（1）分组后，各组可以分解因式；（2）每一组分解因式后，各组之间还可以继续分解因式。应用分组分解法，实际上是一个观察，尝试的过程，分组是否正确，就看是否满足上述两条原则的要求。
例3：
4．4十字相乘法
对于二次三项式 ，如果能找到两个数a，b，使 ，那么它就可以直接分解为： ，对于系数比较简单的二次三项式 ，如果可以分解成 ，则应用 。如果这样的 可找到，那么二次三项式就可以分解。
例4：
3 2
2 -5
4+ -15= -11
4．5求根公式法
对于系数较为复杂的二次三项式，我们可以考虑用求根公式法。
例5：分解因式
解：令
解这个方程
得： ，则
4．6配方法
对于直接用十字相乘法比较困难的二次三项式的因式分解问题，我们也可以考虑用配方法进行分解。
例6：分解因式
解：原式＝
＝
＝
＝
=
4．7拆项或补项法
在多项式的乘法中，有时会出现合并同类项，所以在因式分解时，就需要把这些被合并的项拆开，或增补被抵消的项，以还原成原来的面目，拆项和补项的原则是使其能利用公式，或使分组分解能进行。
例7：分解因式
解：原式＝
＝
＝
＝
＝
拆项分解的方法并不是唯一的。有时在分解时，有的多项式则需要把某些项拆成三项甚至多项方可分解。在考虑拆项分解时，不要盲目地胡拆乱分，要能预见到下步分解的可能性，有些多项式的因式分解，则可以采用添项法，即补项分解法，把矛盾转化。
例8：分解因式：
解：原式
＝
＝
补项，拆项分解法是技巧性较强的分解因式的方法，它有利于开拓思维。
4．8根与系数关系法
我们知道，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的根，如果一个方程有一个根a，则方程所对应的多项式就有一个因式 这个结论对我们分解因式很有帮助。
例9：分解因式：
这个多项式不易分解，原因是次数较高，但我们采用根与系数的关系法则比较简单。令 ，易知 ， 则有一个根为 ，于是必有因式 ，又 ，则必有因式 ，这样就明确了分解的方向。
解：原式＝
＝
＝
＝
4．9整体代换法
换元法在数学解题中有着极其重要的意义，整体代换在分解因式中也是常用的策略与方法。
例10：分解因式
解：令 ，则
原式＝
＝
＝
＝
＝
此外，还有均值代换法。
4．10待定系数法
待定系数法是求解函数解析式的有效方法，也是分解因式的强有力的工具。用待定系数法分解因式，首先要根据题设条件制定原式分解后所成的因式乘积的形式，然后再到方程（组）确定待定系数的值。
例11：分解因式
解：∵ ，于是设
原式＝
∴
比较多项式系数得
解之得
∴原式＝
待定系数法的关键是首先要判断分解的形式，要求解题者具有较强的预见性。
4．11用综合除法分解因式
用综合除法的具体做法是：
（1）先写出 的首项系数 和常数项 的所有因数，然后以 的因数为分母， 的因数为分子，作出所有可能的既约分数（包括整数）。如果 有有理根，则必在这些既约分数中，因此它们是可能的试除数。
（2）从上述既约分数中合理地选择试除数
如果 的各项系数都是正数，或都是负数，就只选择负的试除数；同理，如果 的各项中奇次项系数都是正数，偶次项系数包括常数项都是正数，就只选择正的试除根。
（3）选好试除数后，即用综合除法试除。
例12：分解整系数多项式
解：可能的试除数是
根据做法（2），只选正的试除数：1；2；3；6； 。
由视察法， ；1排除；用2，3，6， 试除， 故排除，用 试除。
3 -2 +9 -6
+2 +0 +6
3 +0 +9 +0
∴
4．12对称式和转换式的因式分解
依据对称式，轮换式和交代式等的概念和性质，结合因式定理和待定系数，可以对它们进行因式分解，其步骤是：
（1）先观察所给多项式的特点，以其中一个变数字母为主，把另一个或另一些字母作为试除数，依据因式定理找了其中一个因式；再用轮换的方法得出另外一些因式。
（2）用待定系数法确定分解后的因式乘积的系数。
例13：分解 的因式。
解：原式是对称式，当 时， 所以 有因式 ，因原式为三次式，故原式为三次式，故还有另一个二次对称式的因式。
设
令 得 ①
令 得 ②
由① ②得：
∴
以上为多项式因式分解的一般方法，在实际运用的过程中，还会遇到二元多项式的因式分解，除运用以上方法分解外，还可考虑以下几种方法：1.主元分解法；2.取零分解法；3.求根公式法，在这里不在举例说明。
5 因式分解的特点
结果的相对性：由于一个多项式的可约与不可约都是相对于某个数域而言的，因此一道因式分解题究竟分解到何时才算最后结果，应视给定数域而异。例如：初中阶段的因式分解一般在有理数集和实数集范围内讨论，而到了高中阶段，就可在实数集和负数集内讨论，具体实例可见本文第三章第二节。
解法的多样性：对于定义域上的多项式的因式分解，在高等代数中已经证明了这种分解的结果除常数因式外是唯一的。但是，很多因式分解题的解法不是唯一的。特别在用分组分解时，由于拆项组合的方式不同，就产生了多种不同的解法。例如：对多项式x3+6x2+11x+6进行分解时，可拆一次项、拆二次项，拆常数项，同时拆一次项和常数项，同时拆二次项和常数项，同时拆一次项和二次项，同时拆二次项、一次项和常数项。本题还可以用其他方法来做，到目前为止本题共有32种不同的解法。
高度的技巧性：面对某些陌生的因式分解题，往往使人感到束手无策，但一经点拨，会顿觉豁然开朗。
6 因式分解的应用
在数学中，因式分解是一种基本的恒等变形，在公式的计算，解方程，解不等式，等式的证明等中却是不可缺少的一种工具，现举例如下：
分式的计算：
例1：计算
解：令1995=a，则1993=a-2，1996=a +1
∴原式=
=
=
=
=
例2：解方程
解：原方程得：
解得：
解不等式：
例3：解不等式
解：∵△>0
解方程 得
∴原不等式的解为：
等式证明：
例4：已知 ，求证：
证明：∵
∴
此外，多项式的因式分解还有其他方面的应用，在此不再赘述。
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时间：2022-04-28 02:52
追答①10x²—27xy—28y²—x+25y—3
=(2x+7y)(5x-8y)-x+25y-3
=(2x+7y+1)(5x-8y-3)
②x²—3ax+2a²—ab—b²
=(x-2a)(x-a)- b(a+b)
③x（四次方）—2x²y—3y²+8y—4
=
④6x²—7xy—3y²—x—7y—2
=(3x+y)(2x-3y)-(x+7y)-2
=(3x+y-2)(2x-3y+1)
你的第二，第三题真的难倒我了。
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时间：2022-04-28 04:26
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时间：2022-04-28 06:18
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时间：2022-04-28 08:26
