洛伦兹变换的初等数学推导
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发布时间：2022-08-14 21:52
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时间：2023-05-15 17:08
狭义相对性原理：一切物理定律（力学定律、电磁学定律以及其他相互作用的动力学定律）在所有惯性系中均有效；或者说，一切物理定律的方程式在洛伦兹变换下保持数学形式不变。
光速不变原理：单向光速是个常数且与光源的运动无关。换言之，在所有惯性系中，真空中的光速不变。 洛伦兹变换可以由狭义相对性原理和光速不变原理推导出来。下面根据这两个基本原理，推导坐标的变换式。
设想有两个惯性坐标系S系、S'系，S'系的原点O'相对S系的原点O以速率v沿X轴正方向运动。任意一事件在S系、S'系中的时空坐标分别为（x，y，z，t）、（x'，y'，z'，t'）。t、t'分别是S系和S'系时刻。两惯性坐标系重合时，分别开始计时.
若x= 0，则x'+vt' =0。这是变换须满足的一个必要条件，故猜测任意一事件的坐标从S'系到S系的变换为
x=γ（x'+vt'） (1)
式中引入了常数γ，命名为洛伦兹因子。
引入相对性原理，即不同惯性系的物理方程的形式应相同。故上述事件坐标从S系到S'系的变换为
x'=γ（x－vt） (2)
y与y'、z与z'的变换可以直接得出，即
y'=y (3)
z'=z (4)
把（2）代入（1），解t'得
t'=γt +(1－γ2) x/γv (5)
在上面推导的基础上，引入光速不变原理，以寻求γ的取值。
由重合的原点O（O'）发出一束沿X轴正方向的光，设光束的波前坐标为（X，Y，Z，T)、(X'，Y'，Z'，T')。根据光速不变原理，有
X=cT (6)
X'=cT' (7)
相对论的光速不变原理得出：坐标值X等于光速c乘时刻T，坐标值X'等于光速c乘时刻T'。（1）（2）相乘得
xx'=γ2(xx'－x'vt+xvt'－v2tt') (8)
以波前这一事件作为对象，则（8）写成
XX'=γ2(XX'－X'VT+XVT'－V2TT') (9)
（6）（7）代入（9），化简得洛伦兹因子
γ= (1－（v/c）2)－1/2 (10)
（10）代入（5），化简得
t'=γ(t－vx/c2) (11)
把（2）、（3）、（4）、（11）放在一起，即S系到S'系的洛伦兹变换
x'=γ(x－vt)，
y'=y，
z'=z，
t'=γ(t－vx/c2) (12)
根据相对性原理，由（12）得S'系到S系的洛伦兹变换
x=γ(x'+vt')，
y=y'，
z=z'，
t=γ(t'+vx'/c2) (13)
洛伦兹变换结合动量定理和质量守恒定律，可以得出狭义相对论的所有结论。
爱因斯坦在1905年提出的狭义相对论（一种新的平直时空理论），出发点是两条基本假设：狭义相对性原理和光速不变原理。理论的核心方程式是洛伦兹变换。狭义相对论预言了牛顿经典物理学所没有的一些新效应（相对论效应），如时间膨胀、长度收缩、横向多普勒效应、质速关系、质能关系等，它们已经获得大量实验的直接证明。狭义相对论已经成为现代物理理论的基础之一：一切微观物理理论（如基本粒子理论）和宏观引力理论（如广义相对论）都满足狭义相对论的要求。这些相对论性的动力学理论已经被许多高精度实验所证实 。
