矩阵的基是什么?

发布网友 发布时间：2022-04-22 23:49

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热心网友 时间：2023-05-09 11:19

在线性代数中，基（也称为基底）是描述、刻画向量空间的基本工具。向量空间的基是它的一个特殊的子集，基的元素称为基向量。

向量空间中任意一个元素，都可以唯一地表示成基向量的线性组合。如果基中元素个数有限，就称向量空间为有限维向量空间，将元素的个数称作向量空间的维数。

向量空间的基是它的一个特殊的子集，基的元素称为基向量。向量空间中任意一个元素，都可以唯一地表示成基向量的线性组合。如果基中元素个数有限，就称向量空间为有限维向量空间，将元素的个数称作向量空间的维数。

扩展资料：

若B是矩阵A中n×n阶可逆矩阵（非奇异矩阵，满秩矩阵），即矩阵的行列式|B|≠0，则B是A的一个基。

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。而行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。

在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P。

将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积 ，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。

参考资料来源：百度百科——基

热心网友 时间：2023-05-09 11:19

在线性代数中，一个n×n矩阵 A的 主对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和被称为 矩阵 A的 迹（或 迹数），一般记作 tr(A)。

(1)设有N阶 矩阵A，那么矩阵A的迹（用表示）就等于A的 特征值的总和，也即矩阵A的主对角线元素的总和。

1.迹是所有对角元的和

2.迹是所有 特征值的和

3.某些时候也利用tr(AB)=tr(BA)来求迹

4.trace（mA+nB）=m trace（A）+n trace（B）

(2)奇异值分解（Singular value decomposition）

奇异值分解非常有用，对于矩阵A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由对角阵与增广行或列组成），满足A = U*B*V

U和V中分别是A的奇异向量，而B是A的 奇异值。AA'的 特征向量组成U，特征值组成B'B，A'A的特征向量组成V，特征值（与AA'相同）组成BB'。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。

如果A是 复矩阵，B中的奇异值仍然是实数。

SVD提供了一些关于A的信息，例如非零奇异值的数目（B的 阶数）和A的阶数相同，一旦阶数确定，那么U的前k列构成了A的列向量空间的正交基。

(3)在 数值分析中，由于数值计算误差，测量误差，噪声以及 病态矩阵，零奇异值通常显示为很小的数目。

将一个矩阵分解为比较简单或者性质比较熟悉的矩阵之组合，方便讨论和计算。由于矩阵的特征值和特征向量在化矩阵为对角形的问题中占有特殊位置， 因此矩阵的特征值分解。尽管矩阵的特征值具有非常好的性质，但是并不是总能正确地表示矩阵的“大小”。矩阵的 奇异值和按 奇异值分解是 矩阵理论和应用中十分重要的内容，已成为多变量 反馈控制系统最重要最基本的分析工具之一，奇异值实际上是 复数标量绝对值概念的推广， 表示了反馈控制系统的输出/输入增益，能反映控制系统的特性。《鲁棒控制.倾斜转弯导弹》

热心网友 时间：2023-05-09 11:20