如何用拉格朗日定理证不等式:e的x次方大于ex, x大于1?
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发布时间：2022-08-28 03:20
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时间：2024-11-19 00:58
拉格朗日定理证不等式如下：
设函数f(x)=e^x-ex, x∈（1,+∞）
在区间（1,x0）可导在区间[1,x0]
根据拉格朗日中值定理,在区间（1,x0)内可找到一点ξ,使得f(x0)=f(1)+f'(ξ)*(x0-1)
f'(x)=e^x-e
在ξ点的导数为e^ξ-e
f(1)=e-e=0
f(x0)=0+(e^ξ-e)(x0-1)
∵ξ>1
∴e^ξ-e>0
∵x0>1
∴x0-1>0
∴(e^ξ-e)(x0-1)>0
∴f(x0)>0
∴e^x0-ex0>0
∴e^x0>ex0
x0∈（1,+∞）
∴e^x>ex
