奥高公式的典型例题
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发布时间：2022-08-31 08:23
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时间：2024-12-03 05:52
例1 求，其中是上半球面，。 ∫∫++SdSzyx)(S2222azyx=++0≥z
解 根据对称性，==0，只要计算即可。由∫∫SxdS∫∫SydS∫∫SzdS222yxaz−−=，222yxaxzx−−−=，222yxayzy−−−=，所以。 3222)(adxdyadSzyxayxSπ==++∫∫∫∫≤+
例2 计算，其中是以原点为中心，边长为2的立方体表面并取外侧为正向。 ∫∫+++++Sdxdyxzdzdxzydydzyx)()()(S
解 分析：观察积分结构及曲面的图形知，Szyx、、两两对称，由对称性知，只需计算其中之一即可。
由 ∫∫∫∫∫∫−−−−+−−+=+11111111)1()1()(dzydydxydydydzyxS
8)1(2)1(21111=−−+=∫∫−−dyydyy
故=∫∫+++++Sdxdyxzdzdxzydydzyx)()()(83×=。 24
例3 证明：若为封闭曲面，为任何固定方向，则Sl0),cos(=∫∫SdSln，其中为曲面外法线方向。 nS
证 设n和l的方向余弦为αcos，βcos，γcos和，，，则++，所以'cosα'cosβ'cosγ'coscos),cos(αα=ln'coscosββ'coscosγγ∫∫∫∫=SSdSln(),cos('coscosαα++） 'coscosββ'coscosγγdSdxdydzdxdydzS'''coscoscosγβα++=∫∫外
又因l的方向固定，，，都是常数，故'cosα=P'cosβ=Q'cosγ=R0=∂∂+∂∂+∂∂zRyQxP，由奥高公式，
原式∫∫∫∫∫=++=VSRdxdyQdzdxPdydz(zRyQxP∂∂+∂∂+∂∂）dxdydz0=。
