证明:方程x.^2=2无有理根。

发布网友发布时间：2022-09-14 13:24

共3个回答

热心网友时间：2024-10-13 13:56

此方程的解为正负根号2，证明根号2为无理数即可反证法如下：
假如根号2是有理数，那么它一定可以用一个最简的（不能再约分的）分数m/n表示，也就是m、n的最大公约数是1
则：m^2/n^2=2
所以m^2=2*n^2，所以m^2是偶数
偶数的平方一定是偶数，反之亦然，若一个偶数是完全平方数，那它的平方根也一定是偶数，所以m是偶数
假设m=2k，，k是整数。那么2*n^2=(2k)^2=4*k^2
所以n^2=2*k^2，与上面同理
所以说n也是偶数
既然m,n都是偶数，那么m/n就不是最简分数，它们的最大公约数就不是1，至少2也是它们的公约数，很显然2>1，与原题设的1是它们的最大公约数矛盾
故根号2是无理数

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/204469484.html?an=0&si=4

热心网友时间：2024-10-13 13:56

用反证法
设x=p/q>0是原方程的有理根，其中p,q为互质的正整数
则p^2=2q^2
因此2|p^2,2|p，所以4|p^2
所以4|2q^2,2|q^2,2|q
则2是p,q的公约数，与p,q互质矛盾
因此x.^2=2无有理根。

热心网友时间：2024-10-13 13:56

即证a/b≠√2 ?