求A的逆的转置
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发布时间：2022-09-11 04:01
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时间：2024-03-16 10:23
若矩阵为方阵且其逆矩阵存在时，矩阵的逆的转置 等于 矩阵的转置的逆。
注意;只有方形矩阵才有矩阵的逆，而非方形的叫做“矩阵的伪逆”，此处只论方阵。其次只有当方阵的行列式不为0时，其逆矩阵才存在，故这里只讨论其行列式不为0的方阵（只要有任意一行或一列全文0的方阵，其行列式值为0，但不仅限于此）.
先算矩阵的逆的转置
算此矩阵的转置的逆
故证明成立。
扩展资料：
逆矩阵的性质
性质定理
可逆矩阵一定是方阵。
如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。
A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。
可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）
若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。
两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
证明
逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。
设B与C都为A的逆矩阵，则有B=C
假设B和C均是A的逆矩阵，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=C，因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。
由逆矩阵的唯一性，A-1的逆矩阵可写作（A-1）-1和A，因此相等。
矩阵A可逆，有AA-1=I 。（A-1） TAT=（AA-1）T=IT=I ，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I
由可逆矩阵的定义可知，AT可逆，其逆矩阵为（A-1）T。而（AT）-1也是AT的逆矩阵，由逆矩阵的唯一性，因此（AT）-1=（A-1）T。
1）在AB=O两端同时左乘A-1（BA=O同理可证），得A-1（AB）=A-1O=O
而B=IB=（AA-1）B=A-1（AB），故B=O
2）由AB=AC（BA=CA同理可证），AB-AC=A(B-C)=O，等式两边同左乘A-1，因A可逆AA-1=I 。
得B-C=O，即B=C。
可逆等价条件
若|A|≠0，则矩阵A可逆，且
其中，A*为矩阵A的伴随矩阵。
证明：
必要性：当矩阵A可逆，则有AA-1=I 。（其中I是单位矩阵）
两边取行列式，det（AA-1）=det（I）=1。
由行列式的性质：det（AA-1）=det（A）det（A-1）=1
则det（A）≠0，（若等于0则上式等于0）
充分性：有伴随矩阵的定理，有
（其中 是的伴随矩阵。）
当det（A）≠0，等式同除以det（A），变成
比较逆矩阵的定义式，可知逆矩阵存在且逆矩阵
参考资料：百度百科-逆矩阵
