设z=cosθ+isinθ(0<π<2π),证明(1+z)/(1-z)=icot(θ/2)
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发布时间：2022-09-11 22:56
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热心网友
时间：2024-11-22 12:31
设复数z=cosθ+isinθ(0≤θ<2π)对应点Z, ∵ |z|=cos²θ+sin²θ=1，
∴ 点Z的轨迹是单位圆，再设1+i对应点P，则|1+i-z|表示点P，Z间的距离，连PO交⊙O于远点A，则|1+i-z|的最大值=|PA|=1+√2，此时，θ=∠XOA=5π/4
解法二：|1+i-z|²=(1-cosθ)²+(1-sinθ)²=3-2√2sin(θ+π/4),
∵ 0≤θ<2π, π/4≤θ+π/4<9π/4, -1≤sin(θ+π/4)≤√2/2,
∴ 1≤3-2√2sin(θ+π/4)≤3+2√2=(1+√2)²,
∴ |1+i-z|≤1+√2,等号成立时θ+π/4=3π/2, ∴ θ=5π/4追问这是证明题啊
