数学里面的这个类似欧拉公式的等式怎么证明
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发布时间：2022-04-23 18:30
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时间：2023-10-13 00:33
=
cos(x)+isin(x).
于是e^(-ix)
=
cos(x)-isin(x).
相减得2isin(x)
=
e^(ix)-e^(-ix).
2n次方得(2i)^(2n)·(sin(x))^(2n)
=
(e^(ix)-e^(-ix))^(2n).
右端由二项式定理展开为:
∑{0
≤
k
≤
2n}
C(2n,k)·e^(ikx)·(-1)^(2n-k)·e^(-i(2n-k)x)
=
∑{0
≤
k
≤
2n}
C(2n,k)·e^(2i(k-n)x)·(-1)^k.
即(2i)^(2n)·(sin(x))^(2n)
=
∑{0
≤
k
≤
2n}
C(2n,k)·e^(2i(k-n)x)·(-1)^k
①.
然而,
当m为非零整数时,
∫{0,2π}
e^(imx)dx
=
∫{0,2π}
cos(mx)+isin(mx)dx
=
0.
m
=
0时∫{0,2π}
e^(imx)dx
=
2π.
因此①式右端积分
=
∫{0,2π}
∑{0
≤
k
≤
2n}
C(2n,k)·e^(2i(k-n)x)·(-1)^k
dx
=
2π·C(2n,n)·(-1)^n
(形如e^(imx),
m非零的项积分为0).
而①式左端积分
=
(2i)^(2n)·∫{0,2π}
(sin(x))^(2n)dx
=
(-4)^n·∫{0,2π}
(sin(x))^(2n)dx.
故∫{0,2π}
(sin(x))^(2n)dx
=
2π·C(2n,n)/4^n.
